Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
f(x, y)=ccc sin (x^2+y^2)x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracsinl(x^2+y^2r)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1em] 1,& (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de continuidade de f. Vamos usar a definição de continuidade em pontos fora de (0,0) e em (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, então
f(x,y)=sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
é quociente de funções contínuas cujo denominador não se anula. Logo f é continua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2=1
Use coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta). Então x^2+y^2=r^2 e, ao aproximar rto0^+,
sin(r^2)r^2 ;longrightarrow; 1
pois é o conhecido limite limtto0sin tt=1. Como esse limite vale exatamente 1=f(0,0), a função é continua em (0,0).

Resposta

A função f é continua em todo R^2.

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