Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Passo 1
O enunciado define a função
e pede o conjunto de continuidade de
f . Vamos usar a definição de continuidade em pontos fora de
(0,0) e em
(0,0) .]
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) temos
x^2+y^2neq0 , então
é quociente de funções contínuas cujo denominador não se anula. Logo
f é continua em todo ponto
(x,y)neq(0,0) .
Passo 3
Em
(0,0) precisamos verificar se
Use coordenadas polares
(x,y)=(rcostheta,rsintheta) . Então
x^2+y^2=r^2 e, ao aproximar
rto0^+ ,
pois é o conhecido limite
limtto0sin tt=1 . Como esse limite vale exatamente
1=f(0,0) , a função é continua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é continua em todo
R^2 .