Se f: R R e lim x 3 f(x)=5 então é CERTAMENTE verdade que:
forall k>0, vale |f(3)-5|

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: ℝ → ℝ e que limxto3f(x)=5. O conteúdo aqui é limites de funções e vamos precisar da definição formal de limite para entender o que ela garante e o que não garante.

Passo 2

Pela definição de limite, dizemos que limxto3f(x)=5 significa: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|x-3|, então |f(x)-5|. Repare que nessa condição nunca usamos x=3, ou seja, o valor f(3) não aparece na definição.

Passo 3

A afirmação proposta é: “para todo k>0, vale |f(3)-5|”. Essa afirmação equivale a dizer que f(3) é exatamente 5. Mas a definição de limite em x=3 não nos garante nada sobre o valor de f(3).

Passo 4

Para ver um contraexemplo concreto, considere a função definida por
f(x)= 5,&xneq3, 0,&x=3
Nesse caso temos limxto3f(x)=5, mas |f(3)-5|=5, que não é menor que todo k>0. Portanto a afirmação falha.

Passo 5

Logo, o fato de limxto3f(x)=5 não implica |f(3)-5| para todo k>0. A afirmação dada é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa, pois o limite em x→3 não obriga que f(3)=5.

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