Prove que
lim x p f(x)=L Long<=ftrightarrow lim x p(f(x)-L)=0 Long<=ftrightarrow lim x p|f(x)-L|=0
(sugestão: escreva as três definições e compare!).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites. A questão pede para provar que três condições envolvendo o limite de uma função f(x) quando x se aproxima de p são equivalentes. Mais especificamente, queremos mostrar que:
lim x p f(x)=L Long<=ftrightarrow lim x p(f(x)-L)=0 Long<=ftrightarrow lim x p|f(x)-L|=0
Para isso, vamos usar as definições de limite e ver como essas expressões se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa lim x p f(x) = L . Isso quer dizer que, à medida que x se aproxima de p , os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L .
Agora, vamos considerar a expressão lim x p(f(x)-L) = 0 . Basicamente, estamos subtraindo L de f(x) e olhando para o limite. Se lim x p f(x) = L , então f(x) - L tende a zero quando x se aproxima de p . Ou seja:
lim x p f(x) = L Rightarrow lim x p(f(x)-L) = 0

Passo 3

Agora, vamos comparar lim x p(f(x)-L) = 0 com lim x p|f(x)-L| = 0 . A diferença está no valor absoluto. Mas se f(x)-L tende a zero, então o valor absoluto de f(x)-L também tende a zero, porque o valor absoluto de algo que está indo para zero também vai para zero. Portanto:
lim x p(f(x)-L) = 0 Rightarrow lim x p|f(x)-L| = 0
E, inversamente,
lim x p|f(x)-L| = 0 Rightarrow lim x p(f(x)-L) = 0
Isso mostra que as duas condições são equivalentes.

Passo 4

Juntando tudo, vimos que:
  1. lim x p f(x) = L implica lim x p(f(x)-L) = 0 .
  2. lim x p(f(x)-L) = 0 é equivalente a lim x p|f(x)-L| = 0 .
Portanto, todas as três expressões são equivalentes entre si.

Resposta

Conseguimos provar que:
lim x p f(x)=L Long<=ftrightarrow lim x p(f(x)-L)=0 Long<=ftrightarrow lim x p|f(x)-L|=0
Todas as três condições sobre o limite de f(x) quando x se aproxima de p são equivalentes.

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