Prove que
(sugestão: escreva as três definições e compare!).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites. A questão pede para provar que três condições envolvendo o limite de uma função
quando
se aproxima de
são equivalentes. Mais especificamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar as definições de limite e ver como essas expressões se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
Agora, vamos considerar a expressão
. Basicamente, estamos subtraindo
de
e olhando para o limite. Se
, então
tende a zero quando
se aproxima de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos comparar
com
. A diferença está no valor absoluto. Mas se
tende a zero, então o valor absoluto de
também tende a zero, porque o valor absoluto de algo que está indo para zero também vai para zero. Portanto:
E, inversamente,
Isso mostra que as duas condições são equivalentes.
Passo 4
Juntando tudo, vimos que:
-
implica . -
é equivalente a .
Portanto, todas as três expressões são equivalentes entre si.
Resposta
Conseguimos provar que:
Todas as três condições sobre o limite de
quando
se aproxima de
são equivalentes.