- Demonstre a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio " R ", Em seguida encontre a relação \overline{\mathrm{V}}{\mathrm{z}} / \mathrm{V}{\mathrm{z} ,MAx} :\n
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de velocidade
de um fluido newtoniano, incompressível, escoando de forma lamin ar e plenamente desenvolvida em um duto cilíndrico de raio
, e em seguida a razão entre a velocidade média
e a velocidade máxima
. Para isso usaremos a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas, no regime estacionário e sem termos de inércia nem de forças de corpo, ficando o balanço apenas entre gradiente de pressão e viscosidade.
Passo 2
Em escoamento totalmente desenvolvido só há componente
de velocidade que depende apenas de
. A equação de momento em
reduz-se a
onde
é a viscosidade e
é constante (gradiente de pressão imposto).
Passo 3
Integramos uma vez em
:
Regularidade em
exige
. Logo
Integramos de novo e aplicamos a condição de não deslizamento
:
Passo 4
A velocidade máxima ocorre no centro
, ou seja
Passo 5
A velocidade média no duto é
Calculamos primeiro o denominador (área da seção):
O numerador fica
Portanto
Passo 6
Dividindo
por
obtemos