1. Demonstre a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio " R ", Em seguida encontre a relação \overline{\mathrm{V}}{\mathrm{z}} / \mathrm{V}{\mathrm{z} ,MAx} :\n \n\bar{V}_{z}=\frac{\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \mathrm{r} V_{z} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta}{\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \mathrm{r} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta}\n

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de velocidade V_{z}(r) de um fluido newtoniano, incompressível, escoando de forma lamin ar e plenamente desenvolvida em um duto cilíndrico de raio R, e em seguida a razão entre a velocidade média \bar V_{z} e a velocidade máxima V_{z,\mathrm{max}}. Para isso usaremos a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas, no regime estacionário e sem termos de inércia nem de forças de corpo, ficando o balanço apenas entre gradiente de pressão e viscosidade.

Passo 2

Em escoamento totalmente desenvolvido só há componente z de velocidade que depende apenas de r. A equação de momento em z reduz-se a
\mu\Bigl(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r\frac{\mathrm{d}V_{z}}{\mathrm{d}r}\bigr)\Bigr) =\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z},
onde \mu é a viscosidade e \mathrm{d}p/\mathrm{d}z é constante (gradiente de pressão imposto).

Passo 3

Integramos uma vez em r:
r\frac{\mathrm{d}V_{z}}{\mathrm{d}r} =\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{r^{2}}{2\mu}+C_{1}.
Regularidade em r=0 exige C_{1}=0. Logo
\frac{\mathrm{d}V_{z}}{\mathrm{d}r} =\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{r}{2\mu}.
Integramos de novo e aplicamos a condição de não deslizamento V_{z}(R)=0:
V_{z}(r) =\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{r^{2}}{4\mu}+C_{2}, \quad 0 = V_{z}(R)=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{R^{2}}{4\mu}+C_{2}
\Rightarrow C_{2}=-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{R^{2}}{4\mu},
\boxed{V_{z}(r) =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).}

Passo 4

A velocidade máxima ocorre no centro r=0, ou seja
V_{z,\mathrm{max}} =V_{z}(0) =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,R^{2}.

Passo 5

A velocidade média no duto é
\bar V_{z} =\frac{\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,V_{z}(r)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta} {\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta}.
Calculamos primeiro o denominador (área da seção):
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =2\pi\int_{0}^{R}r\,\mathrm{d}r =\pi R^{2}.
O numerador fica
2\pi\int_{0}^{R}r\Bigl(-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}(R^{2}-r^{2})\Bigr)\mathrm{d}r =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} \,2\pi\int_{0}^{R}\!\bigl(R^{2}r-r^{3}\bigr)\mathrm{d}r
=-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} \,2\pi\Bigl[\frac{R^{2}r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{R} =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,2\pi\frac{R^{4}}{4} =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{\pi R^{4}}{2}.
Portanto
\bar V_{z} =\frac{-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,\frac{\pi R^{4}}{2}} {\pi R^{2}} =-\frac{1}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,R^{2}.

Passo 6

Dividindo \bar V_{z} por V_{z,\mathrm{max}} obtemos
\frac{\bar V_{z}}{V_{z,\mathrm{max}}} =\frac{-\frac{1}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,R^{2}} {-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,R^{2}} =\frac{1/8}{1/4} =\frac{1}{2}.

Resposta

\frac{\bar V_{z}}{V_{z,\mathrm{max}}} = \tfrac{1}{2}.

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