- Seja o tubo circular de raio "
" e comprimento "
", inclinado de um ângulo "
" em relação à vertical, no qual escoa um fluido Newtoniano incompressível em regime permanente. As pressões no tubo em
e
são
, respectivamente. Encontre o perfil de velocidade e de tensão, as velocidades máxima e média, a vazão volumétrica.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento laminar, incompressível e permanente de um fluido newtoniano em um tubo circular de raio
e comprimento
, inclinado de um ângulo
em relação à vertical. As pressões na entrada
e na saída
são
e
, respectivamente. Vamos usar o balanço de forças na direção do eixo do tubo (equação de Navier–Stokes reduzida) para determinar o perfil de velocidade
, o perfil de tensão de cisalhamento
, a velocidade máxima
, a velocidade média
e a vazão volumétrica
.
Passo 2
Como o escoamento é fully developed e axisimétrico, só existe a componente axial
. O balanço de forças na direção
(positiva do ponto
para
) inclui o gradiente de pressão e o peso do fluido:
Como
é constante, definimos o valor eficaz da força motriz por
Passo 3
Integramos a equação:
Como a solução deve ser regular em
, temos
. Segue
Aplicando a condição de não deslizamento
, obtemos
A tensão de cisalhamento é
Passo 4
A velocidade máxima ocorre no centro
:
A velocidade média ao longo da secção é
Passo 5
A vazão volumétrica
é a velocidade média vezes a área da secção:
Resposta
Perfil de velocidade:
Perfil de tensão de cisalhamento:
Velocidade máxima:
Velocidade média:
Vazão volumétrica: