1. Seja o tubo circular de raio " R " e comprimento " L ", inclinado de um ângulo " \alpha " em relação à vertical, no qual escoa um fluido Newtoniano incompressível em regime permanente. As pressões no tubo em (z=0) e (z=L) são (P=P 0) e(P=P L), respectivamente. Encontre o perfil de velocidade e de tensão, as velocidades máxima e média, a vazão volumétrica.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento laminar, incompressível e permanente de um fluido newtoniano em um tubo circular de raio R e comprimento L, inclinado de um ângulo \alpha em relação à vertical. As pressões na entrada z=0 e na saída z=L são P_0 e P_L, respectivamente. Vamos usar o balanço de forças na direção do eixo do tubo (equação de Navier–Stokes reduzida) para determinar o perfil de velocidade v(r), o perfil de tensão de cisalhamento \tau(r), a velocidade máxima v_{\max}, a velocidade média \overline{v} e a vazão volumétrica Q.

Passo 2

Como o escoamento é fully developed e axisimétrico, só existe a componente axial v_z=v(r). O balanço de forças na direção z (positiva do ponto z=0 para z=L) inclui o gradiente de pressão e o peso do fluido:
\frac{dP}{dz} + \rho\,g\cos\alpha = \mu\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dv}{dr}\Bigr).
Como \tfrac{dP}{dz}=(P_L-P_0)/L é constante, definimos o valor eficaz da força motriz por
G = \frac{P_0 - P_L}{L} \;-\;\rho\,g\cos\alpha.

Passo 3

Integramos a equação:
\mu\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dv}{dr}\Bigr) = -G\,r \;\Longrightarrow\; r\,\frac{dv}{dr} = -\frac{G}{2\mu}\,r^2 + C_1.
Como a solução deve ser regular em r=0, temos C_1=0. Segue
\frac{dv}{dr} = -\frac{G}{2\mu}\,r \;\Longrightarrow\; v(r) = -\frac{G}{4\mu}\,r^2 + C_2.
Aplicando a condição de não deslizamento v(R)=0, obtemos
C_2 = \frac{G}{4\mu}\,R^2 \quad\Longrightarrow\quad v(r) = \frac{G}{4\mu}\,\bigl(R^2 - r^2\bigr).
A tensão de cisalhamento é
\tau(r) = \mu\,\frac{dv}{dr} = -\frac{G}{2}\,r.

Passo 4

A velocidade máxima ocorre no centro r=0:
v_{\max} = v(0) = \frac{G}{4\mu}\,R^2.
A velocidade média ao longo da secção é
\overline{v} = \frac{2}{R^2}\int_{0}^{R} v(r)\,r\,dr = \frac{v_{\max}}{2} = \frac{G}{8\mu}\,R^2.

Passo 5

A vazão volumétrica Q é a velocidade média vezes a área da secção:
Q = \overline{v}\,\pi R^2 = \frac{\pi\,R^4}{8\mu}\;G.

Resposta

Perfil de velocidade:
v(r) = \frac{1}{4\mu}\Bigl(\frac{P_0 - P_L}{L} - \rho\,g\cos\alpha\Bigr) \,(R^2 - r^2).
Perfil de tensão de cisalhamento:
\tau(r) = -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{P_0 - P_L}{L} - \rho\,g\cos\alpha\Bigr)\,r.
Velocidade máxima:
v_{\max} = \frac{R^2}{4\mu}\Bigl(\frac{P_0 - P_L}{L} - \rho\,g\cos\alpha\Bigr).
Velocidade média:
\overline{v} = \frac{R^2}{8\mu}\Bigl(\frac{P_0 - P_L}{L} - \rho\,g\cos\alpha\Bigr).
Vazão volumétrica:
Q = \frac{\pi\,R^4}{8\mu}\Bigl(\frac{P_0 - P_L}{L} - \rho\,g\cos\alpha\Bigr).

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