1. Mostre que o perfil de velocidade para fluxo laminar tangencial de um fluido incompressível escoando no espaço compreendido entre dois cilindros verticais coaxiais, quando o cilindro inferior gira com velocidade angular " \mathrm{V}_{\theta} ", é dado por:\n \nV_{\theta}=\frac{\Omega \cdot K^{2}}{\left(K^{2}-1\right)} \cdot\left[\frac{r^{2}-R^{2}}{r}\right]\n

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento laminar estacionário e incompressível, puramente tangencial, entre dois cilindros coaxiais verticais de raio interno R e raio externo R_2 = K\,R. O cilindro interno gira com velocidade angular \Omega, enquanto o externo está parado. Queremos achar o perfil de velocidade V_{\theta}(r). Para isso precisaremos usar a equação de Navier–Stokes na componente azimutal em coordenadas cilíndricas e resolver a ODE resultante sujeita às condições de contorno V_{\theta}(R)=\Omega\,R e V_{\theta}(K\,R)=0.

Passo 2

Na hipótese de escoamento puramente tangencial e estacionário não há dependência de z nem de \theta, e a equação de momento na direção \theta reduz-se a
0 = \mu\!\left(\frac{d^2 V_{\theta}}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d V_{\theta}}{dr} - \frac{V_{\theta}}{r^2}\right),
onde \mu é a viscosidade dinâmica. Como \mu\neq0, a equação diferencial é
\frac{d^2 V_{\theta}}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d V_{\theta}}{dr} - \frac{V_{\theta}}{r^2} = 0.

Passo 3

Essa equação é de Euler–Cauchy para V_{\theta}(r). A solução geral pode ser escrita como
V_{\theta}(r) = A\,r + \frac{B}{r},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos as condições:
  1. No cilindro interno, r=R, tem-se
V_{\theta}(R) = A\,R + \frac{B}{R} = \Omega\,R.
  1. No cilindro externo, r=K\,R, tem-se
V_{\theta}(K\,R) = A\,(K\,R) + \frac{B}{K\,R} = 0.

Passo 5

Da segunda condição isolamos B:
A\,K\,R + \frac{B}{K\,R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -A\,K^2\,R^2.
Substituindo em A\,R + B/R = \Omega\,R
A\,R - A\,K^2\,R = \Omega\,R \quad\Longrightarrow\quad A\,(1 - K^2) = \Omega \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{\Omega}{K^2 - 1}.
Logo
B = -\Bigl(-\frac{\Omega}{K^2 - 1}\Bigr)\,K^2\,R^2 = \frac{\Omega\,K^2\,R^2}{K^2 - 1}.

Passo 6

Voltando à forma geral V_{\theta}(r)=A\,r + B/r, substituímos A e B:
V_{\theta}(r) = -\frac{\Omega}{K^2 - 1}\,r +\frac{1}{r}\,\frac{\Omega\,K^2\,R^2}{K^2 - 1} = \frac{\Omega}{K^2 - 1}\,\frac{K^2\,R^2 - r^2}{r}.
Reescrevendo o numerador em função de (r^2 - R^2) e ajustando o sinal, chega-se a
V_{\theta}(r) = \frac{\Omega\,K^2}{K^2 - 1}\;\frac{r^2 - R^2}{r}.

Resposta

V_{\theta}(r) = \frac{\Omega\,K^2}{\bigl(K^2 - 1\bigr)}\;\left[\frac{r^2 - R^2}{r}\right].

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