- Mostre que o perfil de velocidade para fluxo laminar tangencial de um fluido incompressível escoando no espaço compreendido entre dois cilindros verticais coaxiais, quando o cilindro inferior gira com velocidade angular "
", é dado por:\n
Passo 1
O enunciado trata de um escoamento laminar estacionário e incompressível, puramente tangencial, entre dois cilindros coaxiais verticais de raio interno
e raio externo
. O cilindro interno gira com velocidade angular
, enquanto o externo está parado. Queremos achar o perfil de velocidade
. Para isso precisaremos usar a equação de Navier–Stokes na componente azimutal em coordenadas cilíndricas e resolver a ODE resultante sujeita às condições de contorno
e
.
Passo 2
Na hipótese de escoamento puramente tangencial e estacionário não há dependência de
nem de
, e a equação de momento na direção
reduz-se a
onde
é a viscosidade dinâmica. Como
, a equação diferencial é
Passo 3
Essa equação é de Euler–Cauchy para
. A solução geral pode ser escrita como
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicamos as condições:
- No cilindro interno,
, tem-se
- No cilindro externo,
, tem-se
Passo 5
Da segunda condição isolamos
:
Substituindo em
dá
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Passo 6
Voltando à forma geral
, substituímos
e
:
Reescrevendo o numerador em função de
e ajustando o sinal, chega-se a