(Valor: \mathbf{3 , 0} pontos) Água a 80^{\circ} \mathrm{C} flui por um tubo fino de cobre (15,2 \mathrm{~cm} de diâmetro interno) a uma velocidade de 7,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O duto está localizado em uma sala a 15^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor na superfície externa do tubo é de 14,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Qual o comprimento do duto, aproximadamente, no qual a temperatura da água cai 1^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado nos dá água a 80^\circ\mathrm{C} escoando dentro de um tubo fino de cobre (diâmetro interno D=0{,}152\\ \mathrm m) com velocidade v=7{,}6\\ \mathrm{m/s}. O tubo está em sala a 15^\circ\mathrm{C} e o coeficiente de convecção externo é h=14{,}1\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Conteúdo: resfriamento convectivo em escoamento interno, usando balanço de energia em regime permanente e aproximação de resistência térmica concentrada no filme externo (tubo fino). Vamos montar o balanço diferencial de energia e integrar para achar o comprimento L em que a água cai 1^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Façamos o balanço de energia sobre um elemento de comprimento dx. A vazão mássica é \dot m, e a variação de entalpia é
\dot m\,c_p\,dT = -q'\,dx,
onde a taxa de calor removido por convecção externa é
q' = h\,P\,(T - T_\infty),
com P o perímetro interno do tubo e T_\infty=15^\circ\mathrm{C} a temperatura do ambiente. Logo o balanço diferencial vira
\dot m\,c_p\,\frac{dT}{dx} = -\,h\,P\,(T - T_\infty).

Passo 3

Calculamos a vazão mássica \dot m. A área da seção interna é
A_c = \frac{\pi D^2}{4},
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\dot m = \rho\,A_c\,v = 1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3}\,\times\frac{\pi\,(0{,}152\\ \mathrm m)^2}{4}\,\times7{,}6\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \approx137{,}9\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}.
O perímetro interno é
P = \pi\,D \approx \pi\times0{,}152\\ \mathrm m\approx0{,}478\\ \mathrm m.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de x=0, onde T=T_i=80^\circ\mathrm{C}, até x=L, onde T=T_i-1=79^\circ\mathrm{C}:
\int_{T_i}^{T_i-1}\frac{dT}{T-T_\infty} = -\int_{0}^{L}\frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,dx.
Isso dá
\ln\frac{T(L)-T_\infty}{T_i - T_\infty} = -\frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,L.
Isolando L:
L = -\,\frac{\dot m\,c_p}{h\,P} \ln\!\biggl(\frac{79-15}{80-15}\biggr).

Passo 5

Usando c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}:
\frac{\dot m\,c_p}{h\,P} = \frac{137{,}9\times4180}{14{,}1\times0{,}478} \approx8{,}56\times10^4\\ \mathrm m,
e
\ln\!\biggl(\frac{64}{65}\biggr)\approx-0{,}0155.
Portanto
L \approx8{,}56\times10^4\times0{,}0155\approx1{,}33\times10^3\\ \mathrm m.

Resposta

O comprimento aproximado é 1{,}3\\ \mathrm{km}.

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