1. A distância entre dois pratos planos e paralelos é 0,00914 \mathrm{~m} e o prato inferior está sendo puxado a uma velocidade relativa de 0,366 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O fluido entre os pratos é óleo de soja com viscosidade de 4 \times 10-2 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} a 303 K .
    a) Calcule a tensão cisalhante e o gradiente de velocidade, em unidades do S.I. Resp: 1,6 Pa; 40s-1
    b) Caso o glicerol a 293 K com viscosidade 1,069 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} seja usado no lugar do óleo de soja, qual será a velocidade relativa em \mathrm{m} / \mathrm{s} necessária para a mesma distância entre os pratos e a mesma tensão cisalhante obtida no item (a)? Qual o novo gradiente de velocidade? Resp: 0,014 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,5 \mathrm{~s}-1.

Passo 1

O enunciado pede para duas chapas paralelas separadas por d=0,00914, \mathrm{m} com um fluido newtoniano entre elas. A placa inferior move-se com velocidade relativa U em relação à superior, gerando um gradiente de velocidade \mathrm{d}v/\mathrm{d}y e tensão cisalhante \tau. Como o escoamento é de tipo Couette, usamos as fórmulas
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{U}{d},
\tau = \mu\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}.
No item (a) sabemos \mu=4\times10^{-2}, \mathrm{Pa\cdot s} e U=0,366, \mathrm{m/s}. No item (b) queremos manter \tau obtida em (a), usando agora \mu=1,069, \mathrm{Pa\cdot s}, e determinar o novo U e \mathrm{d}v/\mathrm{d}y.

Passo 2

Para o item (a), o gradiente e a tensão são
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{U}{d}, \qquad \tau = \mu\,\frac{U}{d}.

Passo 3

Substituindo U=0,366, \mathrm{m/s}, d=0,00914, \mathrm{m} e \mu=4\times10^{-2}, \mathrm{Pa\cdot s}:
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{0,366}{0,00914}\approx40\;\mathrm{s}^{-1},
\tau = 4\times10^{-2}\times40\approx1,6\;\mathrm{Pa}.

Passo 4

Para o item (b) mantemos \tau=1,6, \mathrm{Pa} e temos
\tau = \mu\,\frac{U}{d} \;\Longrightarrow\; U = \frac{\tau\,d}{\mu},
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{U}{d} \quad\text{ou}\quad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{\tau}{\mu}.

Passo 5

Substituindo \tau=1,6, \mathrm{Pa}, d=0,00914, \mathrm{m} e \mu=1,069, \mathrm{Pa\cdot s}:
U = \frac{1,6\times0,00914}{1,069}\approx0,014\;\mathrm{m/s},
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = \frac{0,014}{0,00914}\approx1,5\;\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

a) \tau=1,6\;\mathrm{Pa}; \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}=40\;\mathrm{s}^{-1}
b) U=0,014\;\mathrm{m/s}; \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}=1,5\;\mathrm{s}^{-1}

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