Demonstre que o vetor (a, b, c) times(a1, b1, c1) é paralelo à interseção dos planos a1 x+b1 y1+c1 z=d1 e a x+b y+c z=d.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor
(a,b,c)times(a1,b1,c1)
é paralelo à reta de interseção dos planos
a1x + b1y + c1z = d1 e a x + b y + c z = d
O conteúdo usado será: normal de plano, interseção de planos e propriedade do produto vetorial.

Passo 2

Cada plano é determinado por seu vetor normal. Assim, definimos
n = (a,b,c), n1 = (a1,b1,c1)
Sabe-se que a reta de interseção destes dois planos tem vetor diretor v que satisfaz
ncdotv = 0 e n1cdotv = 0,
pois v é perpendicular a cada normal.

Passo 3

Pela propriedade do produto vetorial, o vetor
ntimesn1
é perpendicular tanto a n quanto a n1. De fato, vale
ncdot(ntimesn1) = 0 e n1cdot(ntimesn1) = 0
Logo, ntimesn1 satisfaz as mesmas condições de direção da reta de interseção.

Passo 4

Como a direção de uma reta é única a menos de escalares, concluímos que
(a,b,c)times(a1,b1,c1)
é paralelo ao vetor diretor da reta de interseção dos dois planos.

Resposta

O vetor (a,b,c)times(a1,b1,c1) é de fato paralelo à interseção dos planos dados.

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