Demonstre que o vetor
é paralelo à interseção dos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o vetor
é paralelo à reta de interseção dos planos
O conteúdo usado será: normal de plano, interseção de planos e propriedade do produto vetorial.
Passo 2
Cada plano é determinado por seu vetor normal. Assim, definimos
Sabe-se que a reta de interseção destes dois planos tem vetor diretor
que satisfaz
pois
é perpendicular a cada normal.
Passo 3
Pela propriedade do produto vetorial, o vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
. De fato, vale
Logo,
satisfaz as mesmas condições de direção da reta de interseção.
Passo 4
Como a direção de uma reta é única a menos de escalares, concluímos que
é paralelo ao vetor diretor da reta de interseção dos dois planos.
Resposta
O vetor
é de fato paralelo à interseção dos planos dados.