Questão 1: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x3=x1 ou x3=x2
Não

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=(x1,x2,x3)inR^3mid x3=x1 ou x3=x2.
Para ser subespaço vetorial de R^3 é preciso verificar três propriedades:
  1. 0inW.
  2. Se u,vinW então u+vinW.
  3. Se uinW e alphainR então alpha,uinW.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
0=(0,0,0) satisfaz 0=0 (tanto x3=x1 quanto x3=x2).
Logo 0inW.

Passo 3

Testamos fechamento sob adição. Considere
u=(1,0,1) e v=(0,1,1).
  • Em u vale x3=1=x1, então uinW.
  • Em v vale x3=1=x2, então vinW.
    Mas
u+v=(1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2)
Nesse soma temos x3=2, x1=1 e x2=1, de modo que nem 2=1 nem 2=1 se verifica.
Portanto u+vnotinW, falhando o fechamento sob soma.

Passo 4

Como não há fechamento sob soma, W não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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