Identificando corretamente as cônicas dadas abaixo:
Temos nessa ordem Parábola, Elipse e Hipérbole.

Passo 1

O enunciado apresenta três equações gerais de cônicas da forma
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0,
e pede para identificar cada uma. O critério usado é o discriminante
De<a = B^2 - 4AC,
porque
De<a<0 indica elipse (ou circunferência se A=C e B=0),
De<a=0 indica parábola,
De<a>0 indica hipérbole.

Passo 2

Para
17x^2 + 2xy + 8y^2 -10x +20y +5 = 0
temos A=17, B=2, C=8.
Calculando
De<a = 2^2 - 4cdot17cdot8 = 4 - 544 = -540 < 0,
portanto é uma elipse.

Passo 3

Para
4x^2 + y^2 +4xy +5raiz5,x +10raiz5,y +5 = 0
temos A=4, B=4, C=1.
Calculando
De<a = 4^2 - 4cdot4cdot1 = 16 - 16 = 0,
portanto é uma parábola.

Passo 4

Para
7x^2 + y^2 -8xy -17raiz5,x +11raiz5,y +41 = 0
temos A=7, B=-8, C=1.
Calculando
De<a = (-8)^2 - 4cdot7cdot1 = 64 - 28 = 36 > 0,
portanto é uma hipérbole.

Resposta

Elipse, Parábola e Hipérbole.

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