Sejam r:rx=3+2 lambda y=1+lambda z=-3-lambda e s: x-43=y-22=z+3-1 são concorrentes, e determine as coordenadas do ponto P de intersecção entre r e s.
Escreva uma equação do plano pi1 determinado pelas retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e que pertence a ambas. Para achar o plano determinado por e , vamos precisar de:
  1. Coordenadas de , resolvendo o sistema entre os parâmetros de e .
  2. Dois vetores diretores das retas para calcular um vetor normal ao plano via produto vetorial.
  3. Equação do plano usando o vetor normal e o ponto .

Passo 2

Escrevemos s em forma paramétrica usando um parâmetro mu:
x = 4 + 3mu, y = 2 + 2mu, z = -3 - mu
Igualamos com r(lambda):
3 + 2lambda = 4 + 3mu, 1 + lambda = 2 + 2mu, -3 - lambda = -3 - mu
Da terceira equação vem lambda = mu. Substituindo em 1 + lambda = 2 + 2lambda
1 + lambda = 2 + 2lambda;Longrightarrow; -1 = lambda,
logo mu = -1. Substituindo em r(lambda) obtemos
P = r(-1) = l(3 + 2(-1),;1 - 1,;-3 -(-1)r) = (1,,0,,-2)

Passo 3

Os vetores diretores de r e s são
vr = (2,1,-1), vs = (3,2,-1)
Um vetor normal ao plano é
n = vr times vs = i & j & k 2 & 1 & -1 3 & 2 & -1 = (1,,-1,,1)

Passo 4

A equação do plano pi1 usando n=(1,-1,1) e o ponto P=(1,0,-2) é
ncdotl((x,y,z)-(1,0,-2)r)=0 ;Longrightarrow; 1,(x-1)-1,(y-0)+1,(z+2)=0,
que se expande para
x - y + z + 1 = 0

Resposta

Ponto de intersecção: P=(1,,0,,-2).
Equação do plano pi1:
x - y + z + 1 = 0

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