Demonstre que
é um domínio principal, isto é, todo ideal de
de é principal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o anel dos inteiros
é um domínio principal, isto é, dado um ideal
, existe um inteiro
tal que
Vamos usar o princípio da boa ordenação em
(todo subconjunto não vazio de
tem mínimo) e a divisão euclidiana em
.
Passo 2
Primeiro, considere o caso trivial
.
Então basta tomar . De fato,
Então basta tomar
logo
é gerado por
.
Passo 3
Agora suponha
. Como
é ideal em
, ele contém elementos não nulos e, em particular, algum inteiro positivo. Então o conjunto
é não vazio. Pelo princípio da boa ordenação, existe
Logo
e
.
Passo 4
Vamos mostrar que
.
-
Seja
. Pela divisão euclidiana em , existem com Comoe , segue . Mas e é o menor inteiro positivo em . A única possibilidade é . Assim , ou seja, . Portanto . -
Como
, para todo temos . Logo .
Com isso
, isto é,
é principal.
Resposta
Todo ideal
de
pode ser escrito como
para algum
. Portanto
é um domínio principal.