Demonstre que Z é um domínio principal, isto é, todo ideal de Z de é principal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o anel dos inteiros Z é um domínio principal, isto é, dado um ideal IsubseteqZ, existe um inteiro d tal que
I = (d) = ,kd : kinZ,
Vamos usar o princípio da boa ordenação em N (todo subconjunto não vazio de N tem mínimo) e a divisão euclidiana em Z.

Passo 2

Primeiro, considere o caso trivial I=0.
Então basta tomar d=0. De fato,
(d)=(0)=,kcdot0 : kinZ=0=I,
logo I é gerado por 0.

Passo 3

Agora suponha Ineq0. Como I é ideal em Z, ele contém elementos não nulos e, em particular, algum inteiro positivo. Então o conjunto
S = ,ninN : n>0 e nin I
é não vazio. Pelo princípio da boa ordenação, existe
d = min S,
Logo d>0 e din I.

Passo 4

Vamos mostrar que I=(d).
  1. Seja ain I. Pela divisão euclidiana em Z, existem q,rinZ com
    a = q,d + r, 0 <= r < d
    Como ain I e din I, segue r = a - qdin I. Mas 0<= r<d e d é o menor inteiro positivo em I. A única possibilidade é r=0. Assim a = qd, ou seja, ain(d). Portanto Isubseteq (d).
  2. Como din I, para todo kinZ temos k,din I. Logo (d)subseteq I.
Com isso I=(d), isto é, I é principal.

Resposta

Todo ideal I de Z pode ser escrito como I=(d) para algum dinZ. Portanto Z é um domínio principal.

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