Questão 4. Calcule o gradiente da função
(b) f(x, y)=x^{2}+2 x y+4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função
f(x,y)=x^{2}+2xy+4.
O conteúdo aqui é derivada parcial e vetor gradiente, que se define como
\nabla f(x,y)=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Tratando y como constante, temos:
– a derivada de x^{2} em relação a x é 2x;
– a derivada de 2xy em relação a x é 2y;
– a derivada de 4 é 0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Tratando x como constante, temos:
– a derivada de x^{2} em relação a y é 0;
– a derivada de 2xy em relação a y é 2x;
– a derivada de 4 é 0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=2x.

Passo 4

Agora montamos o vetor gradiente reunindo as duas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(2x+2y,\;2x\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=(2x+2y,\;2x).

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