Questão 1. Seja z=x^{3} y^{2} e calcule um valor aproximado para a variação \Delta z em z, quando se passa de x=1 e y=1 para x=1,01 e y=1,002.

Passo 1

O enunciado define a função
z = x^{3}y^{2}
e pede uma aproximação para a variação \Delta z ao passar de (x,y)=(1,1) para (1,01,\,1,002). O conteúdo é aproximação linear em várias variáveis, usando diferenciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2}y^{2},
\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^{3}y.
Em (x,y)=(1,1) temos
\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = 3, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = 2.

Passo 3

Definindo
dx = 1,01 - 1 = 0,01, \quad dy = 1,002 - 1 = 0,002,
a diferencial total é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = 3 \cdot 0,01 + 2 \cdot 0,002 = 0,03 + 0,004 = 0,034.
Como \Delta z \approx dz, obtemos a variação aproximada.

Resposta

\Delta z \approx 0,034

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