1. Demostre que para função f(x)=x^{2} as diferenças divididas da segunda ordem são iguais a 1 , isto é para quaisquer x_{0}, x_{1}, e x_{2} diferentes f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]=1.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para a função f(x)=x^{2}, as diferenças divididas de segunda ordem são iguais a 1 para quaisquer pontos distintos x_{0},x_{1},x_{2}.
Informações dadas:
f(x)=x^{2},
e x_{0},x_{1},x_{2} são três números distintos.
O que precisamos provar:
f\left[x_{0},x_{1},x_{2}\right]=1.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de diferença dividida (a versão que usaremos).
A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos x_{i} e x_{j} é
f[x_{i},x_{j}] = \frac{f(x_{j})-f(x_{i})}{x_{j}-x_{i}}.
A diferença dividida de segunda ordem para x_{0},x_{1},x_{2} é
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{f[x_{1},x_{2}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calculemos a diferença dividida de primeira ordem para f(x)=x^{2}. Para i\neq j,
f[x_{i},x_{j}] = \frac{f(x_{j})-f(x_{i})}{x_{j}-x_{i}} = \frac{x_{j}^{2}-x_{i}^{2}}{x_{j}-x_{i}}.
Agora usamos a fatoração da diferença de quadrados: x_{j}^{2}-x_{i}^{2}=(x_{j}-x_{i})(x_{j}+x_{i}). Substituindo,
f[x_{i},x_{j}] = \frac{(x_{j}-x_{i})(x_{j}+x_{i})}{x_{j}-x_{i}} = x_{j}+x_{i}.
Portanto, para f(x)=x^{2} temos a fórmula simples
f[x_{i},x_{j}] = x_{i}+x_{j}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição da diferença dividida de segunda ordem usando o resultado do passo anterior. Substituindo em
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{f[x_{1},x_{2}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}
obtemos, pelo passo 3,
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{(x_{1}+x_{2}) - (x_{0}+x_{1})}{x_{2}-x_{0}}.
No numerador simplificamos (x_{1}+x_{2}) - (x_{0}+x_{1}) = x_{2} - x_{0}. Então
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \frac{x_{2}-x_{0}}{x_{2}-x_{0}} = 1,
já que x_{2}\neq x_{0} (os pontos são distintos), logo a divisão é válida.

Passo 5

Interpretação e comentário didático rápido: o cálculo mostrou que, independentemente dos valores escolhidos para x_{0},x_{1},x_{2} (contanto que sejam distintos), o valor da diferença dividida de segunda ordem para f(x)=x^{2} é sempre 1. Isso acontece porque a primeira diferença dividida deu uma expressão linear em termos dos pontos (x_{i}+x_{j}) e a diferença entre essas expressões telescopa, cancelando x_{1} e sobrando x_{2}-x_{0}, que ao dividir por x_{2}-x_{0} 1.
Uma outra visão (opcional): para um polinômio de grau 2 a segunda diferença dividida é constante e igual a \dfrac{f''(x)}{2!}; aqui f''(x)=2 então \dfrac{2}{2}=1, concordando com o resultado acima.

Resposta

1

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