- Demostre que para função
as diferenças divididas da segunda ordem são iguais a 1 , isto é para quaisquer
, e
diferentes
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para a função
, as diferenças divididas de segunda ordem são iguais a
para quaisquer pontos distintos
.
Informações dadas:
Informações dadas:
e
são três números distintos.
O que precisamos provar:
O que precisamos provar:
Passo 2
Vamos lembrar a definição de diferença dividida (a versão que usaremos).
A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos e
é
A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos
A diferença dividida de segunda ordem para
é
Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calculemos a diferença dividida de primeira ordem para
. Para
,
Agora usamos a fatoração da diferença de quadrados:
. Substituindo,
Portanto, para
temos a fórmula simples
Passo 4
Agora aplicamos a definição da diferença dividida de segunda ordem usando o resultado do passo anterior. Substituindo em
obtemos, pelo passo 3,
No numerador simplificamos
. Então
já que
(os pontos são distintos), logo a divisão é válida.
Passo 5
Interpretação e comentário didático rápido: o cálculo mostrou que, independentemente dos valores escolhidos para
(contanto que sejam distintos), o valor da diferença dividida de segunda ordem para
é sempre
. Isso acontece porque a primeira diferença dividida deu uma expressão linear em termos dos pontos
e a diferença entre essas expressões telescopa, cancelando
e sobrando
, que ao dividir por
dá
.
Uma outra visão (opcional): para um polinômio de grau a segunda diferença dividida é constante e igual a
; aqui
então
, concordando com o resultado acima.
Uma outra visão (opcional): para um polinômio de grau