Calcule valor aproximado da integral \int_{0}^{2} \frac{d x}{1+x^{3}} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).
Passo 1
O enunciado pede que calculemos, de forma aproximada, a integral
\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+x^{3}}
usando a regra dos trapézios repetida (composta) dividindo o intervalo [0,2] em dois subintervalos iguais. Informações dadas e pontos a ficar atento:
Intervalo: [0,2].
Número de subintervalos: n=2.
Passo: h=1 (já informado).
Nós (pontos) a usar: x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2.
A função a integrar: f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}}.
A partir daqui vamos aplicar a fórmula composta da regra dos trapézios e calcular passo a passo os valores necessários.
Passo 2
Apresentação da regra dos trapézios composta e explicação do que cada termo significa.
A regra dos trapézios composta para um intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de passo h=\dfrac{b-a}{n} diz:
x_{0},x_{1},\dots,x_{n} são os pontos igualmente espaçados no intervalo com x_{k}=a+k\,h.
A expressão dentro dos colchetes é a soma dos valores da função nos nós, com os termos internos multiplicados por 2 porque cada um aparece em dois trapézios consecutivos.
Intuitivamente, aproximamos a área sob f por áreas de trapézios em cada subintervalo e somamos.
Passo 3
Calcular os valores da função nos nós x_{0},x_{1},x_{2}.
A função é f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}}.
Em x_{0}=0:
f(0)=\frac{1}{1+0^{3}}=\frac{1}{1}=1.
Em x_{1}=1:
f(1)=\frac{1}{1+1^{3}}=\frac{1}{2}.
Em x_{2}=2:
f(2)=\frac{1}{1+2^{3}}=\frac{1}{1+8}=\frac{1}{9}.
Passo 4
Aplicar a fórmula da regra dos trapézios composta com n=2 e h=1.
Então a aproximação obtida pela regra dos trapézios composta com h=1 (dois subintervalos) é \dfrac{19}{18}, aproximadamente 1,055555\ldots.
Um comentário prático (para te acalmar): a regra dos trapézios com poucos subintervalos costuma ter erro quando a função não é quase linear nos subintervalos. Aqui a resposta exata é um pouco maior (ou seja, o trapézio subestimou), e se você quiser melhorar a aproximação na prova pode aumentar n (diminuir h) ou usar a regra de Simpson, se for permitida.