1. Calcule valor aproximado da integral \int_{0}^{2} \frac{d x}{1+x^{3}} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos, de forma aproximada, a integral
\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+x^{3}}
usando a regra dos trapézios repetida (composta) dividindo o intervalo [0,2] em dois subintervalos iguais. Informações dadas e pontos a ficar atento:
  • Intervalo: [0,2].
  • Número de subintervalos: n=2.
  • Passo: h=1 (já informado).
  • Nós (pontos) a usar: x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2.
  • A função a integrar: f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}}.
    A partir daqui vamos aplicar a fórmula composta da regra dos trapézios e calcular passo a passo os valores necessários.

Passo 2

Apresentação da regra dos trapézios composta e explicação do que cada termo significa.
A regra dos trapézios composta para um intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de passo h=\dfrac{b-a}{n} diz:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{0}) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_{k}) + f(x_{n})\right].
O que esses símbolos significam:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • x_{0},x_{1},\dots,x_{n} são os pontos igualmente espaçados no intervalo com x_{k}=a+k\,h.
  • A expressão dentro dos colchetes é a soma dos valores da função nos nós, com os termos internos multiplicados por 2 porque cada um aparece em dois trapézios consecutivos.
    Intuitivamente, aproximamos a área sob f por áreas de trapézios em cada subintervalo e somamos.

Passo 3

Calcular os valores da função nos nós x_{0},x_{1},x_{2}.
A função é f(x)=\dfrac{1}{1+x^{3}}.
  • Em x_{0}=0:
f(0)=\frac{1}{1+0^{3}}=\frac{1}{1}=1.
  • Em x_{1}=1:
f(1)=\frac{1}{1+1^{3}}=\frac{1}{2}.
  • Em x_{2}=2:
f(2)=\frac{1}{1+2^{3}}=\frac{1}{1+8}=\frac{1}{9}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da regra dos trapézios composta com n=2 e h=1.
Substituindo na fórmula
\int_{0}^{2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl[f(x_{0}) + 2f(x_{1}) + f(x_{2})\bigr]
com h=1, f(x_{0})=1, f(x_{1})=\tfrac{1}{2} e f(x_{2})=\tfrac{1}{9}, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{dx}{1+x^{3}} \approx \frac{1}{2}\left[1 + 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{9}\right].
Calculemos a soma dentro dos colchetes passo a passo:
1 + 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = 1 + 1 + \frac{1}{9} = 2 + \frac{1}{9} = \frac{18}{9} + \frac{1}{9} = \frac{19}{9}.
Agora multiplicando por \dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\cdot\frac{19}{9}=\frac{19}{18}.

Passo 5

Converter para forma decimal e comentar rapidamente.
A fração \dfrac{19}{18} é igual a
\frac{19}{18}=1,\underbrace{05555\ldots}_{\text{repetindo}}=1,055555\ldots
Então a aproximação obtida pela regra dos trapézios composta com h=1 (dois subintervalos) é \dfrac{19}{18}, aproximadamente 1,055555\ldots.
Um comentário prático (para te acalmar): a regra dos trapézios com poucos subintervalos costuma ter erro quando a função não é quase linear nos subintervalos. Aqui a resposta exata é um pouco maior (ou seja, o trapézio subestimou), e se você quiser melhorar a aproximação na prova pode aumentar n (diminuir h) ou usar a regra de Simpson, se for permitida.

Resposta

\dfrac{19}{18}
1,055555\ldots

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