1. Calcule aproximadamente \sqrt{1.1} utilizando interpolação linear da função f(x)=\sqrt{x} sobre dois pontos, f(1)=1 e f(1.21)=1.1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular aproximadamente \sqrt{1,1} usando interpolação linear da função f(x)=\sqrt{x} nos dois pontos dados.
Informações fornecidas:
  • Ponto 1: x_0=1 e f(1)=1.
  • Ponto 2: x_1=1,21 e f(1,21)=1,1 (peguei esses valores diretamente do enunciado).
  • Valor onde queremos aproximar: x=1,1.
    Pergunta: Qual a aproximação de \sqrt{1,1} obtida pela interpolação linear entre os pontos acima?

Passo 2

Explicação do método (fórmula e o que significa cada coisa).
Interpolação linear entre dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) produz a reta que passa por esses pontos; a aproximação de f(x) por essa reta é dada por
L(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Aqui:
  • y_0=f(x_0) é o valor da função no primeiro ponto;
  • y_1=f(x_1) é o valor da função no segundo ponto;
  • \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} é a inclinação (ou coeficiente angular) da reta;
  • x é o ponto onde queremos a aproximação;
    A ideia é aproximar a curva por uma reta entre os dois pontos conhecidos e avaliar essa reta em x.

Passo 3

Identificação dos dados no nosso caso e aplicação direta da fórmula.
Temos:
x_0=1,\quad y_0=1,\quad x_1=1,21,\quad y_1=1,1,\quad x=1,1.
Logo a inclinação será \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} e a aproximação será L(1,1)=y_0+\text{slope}\cdot(1,1-x_0).

Passo 4

Cálculo da inclinação passo a passo:
y_1-y_0=1,1-1=0,1=\frac{1}{10},
x_1-x_0=1,21-1=0,21=\frac{21}{100}.
Dividindo,
\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{21}{100}}=\frac{1}{10}\cdot\frac{100}{21}=\frac{10}{21}.

Passo 5

Cálculo da correção (\text{slope})\cdot(x-x_0) e da aproximação final:
x-x_0=1,1-1=0,1=\frac{1}{10},
\text{slope}\cdot(x-x_0)=\frac{10}{21}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{21}.
Portanto
L(1,1)=y_0+\frac{1}{21}=1+\frac{1}{21}=\frac{22}{21}.
Em decimal,
\frac{22}{21}\approx 1,0476190476.

Passo 6

Comentários didáticos sobre a qualidade da aproximação (útil para a prova).
A função \sqrt{x} é côncava no intervalo considerado (isso vem de f''(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}<0), portanto a reta de interpolação fica abaixo da curva e a aproximação tende a subestimar o valor verdadeiro. Há uma fórmula do resto da interpolação linear:
R(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_0)(x-x_1)
para algum \xi entre x_0 e x_1. Usando o valor máximo em módulo de f'' no intervalo [1,1,21], que ocorre em x=1 e vale -\tfrac{1}{4}, obtemos uma cota de erro
|R(1,1)|\le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot |(1,1-1)(1,1-1,21)|=\frac{1}{8}\cdot 0,011=0,001375.
Isso nos diz que o erro absoluto da interpolação é no máximo cerca de 0,001375. (De fato, o valor exato \sqrt{1,1}\approx 1,0488088481, então o erro real é aproximadamente 0,0011898, compatível com a cota.)

Resposta

\dfrac{22}{21}\approx 1,0476190476

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