- Calcule aproximadamente
utilizando interpolação linear da função
sobre dois pontos,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular aproximadamente
usando interpolação linear da função
nos dois pontos dados.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Ponto 1:
e . - Ponto 2:
e (peguei esses valores diretamente do enunciado). - Valor onde queremos aproximar:
.
Pergunta: Qual a aproximação deobtida pela interpolação linear entre os pontos acima?
Passo 2
Explicação do método (fórmula e o que significa cada coisa).
Interpolação linear entre dois pontos e
produz a reta que passa por esses pontos; a aproximação de
por essa reta é dada por
Interpolação linear entre dois pontos
Aqui:
-
é o valor da função no primeiro ponto; -
é o valor da função no segundo ponto; -
é a inclinação (ou coeficiente angular) da reta; -
é o ponto onde queremos a aproximação;
A ideia é aproximar a curva por uma reta entre os dois pontos conhecidos e avaliar essa reta em.
Passo 3
Identificação dos dados no nosso caso e aplicação direta da fórmula.
Temos:
Temos:
Logo a inclinação será
e a aproximação será
.
Passo 4
Cálculo da inclinação passo a passo:
Dividindo,
Passo 5
Cálculo da correção
e da aproximação final:
Portanto
Em decimal,
Passo 6
Comentários didáticos sobre a qualidade da aproximação (útil para a prova).
A função é côncava no intervalo considerado (isso vem de
), portanto a reta de interpolação fica abaixo da curva e a aproximação tende a subestimar o valor verdadeiro. Há uma fórmula do resto da interpolação linear:
A função
para algum
entre
e
. Usando o valor máximo em módulo de
no intervalo
, que ocorre em
e vale
, obtemos uma cota de erro
Isso nos diz que o erro absoluto da interpolação é no máximo cerca de
. (De fato, o valor exato
, então o erro real é aproximadamente
, compatível com a cota.)