Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras, e quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para saber se a igualdade
é sempre verdadeira ou nem sempre. Estamos lidando com o produto vetorial de vetores, que faz parte da matéria de álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é o produto vetorial e como ele funciona quando a gente multiplica um vetor por um escalar negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, representado por
, resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Além disso, o módulo desse vetor é dado por
, onde
é o ângulo entre
e
.
Agora, quando multiplicamos um vetor por um escalar negativo, como
, estamos basicamente invertendo a direção desse vetor. Então,
é o vetor
apontando na direção oposta.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa igualdade:
.
Usando uma propriedade do produto vetorial, sabemos que
para qualquer vetor
, porque o ângulo entre eles é
graus e
.
No nosso caso, temos
. Podemos reescrever isso como
. E como
, então:
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira.