Demostre o teorema de Bayes.
Passo 1
Beleza, a tarefa é provar o Teorema de Bayes. Isso faz parte de Probabilidade, mais especificamente de Probabilidade Condicional e da chamada Regra do Produto. Para isso a gente vai precisar:
- Definição de probabilidade condicional,
- Entender que dá pra escrever a probabilidade conjunta de dois eventos de duas formas (regra do produto).
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional: se A e B são eventos com
, a probabilidade de A dado que B ocorreu é
Isso só diz que, se já sabemos que B rolou, a chance de A acontecer também é a parte de
dentro de B. Tranquilo?
Passo 3
Agora, a mesma probabilidade conjunta
dá pra escrever de dois jeitos, pela regra do produto:
- Pensando em A primeiro, depois B:
- Pensando em B primeiro, depois A (que é a definição que a gente citou):
As duas expressões representam a mesma coisa (
), só mudam a ordem de condicionamento.
Passo 4
Como as duas expressões valem para
, podemos igualá-las:
Agora é só isolar
. Dividindo ambos os lados por
, chega-se a
E aí está a fórmula clássica do Teorema de Bayes!