Demostre o teorema de Bayes.

Passo 1

Beleza, a tarefa é provar o Teorema de Bayes. Isso faz parte de Probabilidade, mais especificamente de Probabilidade Condicional e da chamada Regra do Produto. Para isso a gente vai precisar:
  • Definição de probabilidade condicional,
  • Entender que dá pra escrever a probabilidade conjunta de dois eventos de duas formas (regra do produto).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de probabilidade condicional: se A e B são eventos com P(Amid B) ;=; P(Acap B)P(B) , a probabilidade de A dado que B ocorreu é
Isso só diz que, se já sabemos que B rolou, a chance de A acontecer também é a parte de dentro de B. Tranquilo?

Passo 3

Agora, a mesma probabilidade conjunta P(Acap B) = P(A);P(Bmid A) dá pra escrever de dois jeitos, pela regra do produto:
  1. Pensando em A primeiro, depois B: P(Acap B) = P(B);P(Amid B)
  2. Pensando em B primeiro, depois A (que é a definição que a gente citou):
As duas expressões representam a mesma coisa ( ), só mudam a ordem de condicionamento.

Passo 4

Como as duas expressões valem para P(A),P(Bmid A) ;=; P(B),P(Amid B) , podemos igualá-las:
P(Amid B) ;=; P(Bmid A),P(A)P(B)
Agora é só isolar . Dividindo ambos os lados por , chega-se a
E aí está a fórmula clássica do Teorema de Bayes!

Resposta

boxedP(Amid B) = P(Bmid A),P(A)P(B)

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