Demostre, usando a definição δ e γ, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição com \delta e \gamma, o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}.
Informações fornecidas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}, definida para x\neq 2.
  • O ponto de aproximação é x=2.
  • A tarefa é provar, pelo critério \delta- \gamma, qual é o valor limite quando x tende para 2.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a definição de limite que vou usar (substituindo o usual \varepsilon por \gamma, conforme pedido): mostrar que
\lim_{x\to 2} f(x)=L
significa: para todo \gamma>0 existe \delta>0 tal que, para todo x,
0<|x-2|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\gamma.
Aqui \gamma é a precisão desejada no valor da função (quão perto queremos ficar de L) e \delta é a distância em x (quão perto de 2 devemos escolher x) que garante essa precisão.

Passo 3

Fazer uma simplificação algébrica para entender a função perto de x=2. Para x\neq 2,
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3),
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f(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=x+3 \qquad (x\neq 2).
Portanto, para x\neq 2 temos
\biggl|\frac{x^{2}+x-6}{x-2}-5\biggr|=|x+3-5|=|x-2|.

Passo 4

Agora aplico a definição \delta- \gamma. Seja um \gamma>0 arbitrário. Escolho
\delta=\gamma.
Então, sempre que x satisfizer 0<|x-2|<\delta (essa distância positiva garante x\neq 2, então a simplificação anterior vale), obtemos
\biggl|\frac{x^{2}+x-6}{x-2}-5\biggr|=|x-2|<\delta=\gamma.
Isso mostra exatamente que para todo \gamma>0 existe \delta>0 (a escolha \delta=\gamma) tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-5|<\gamma.

Passo 5

Pelo critério \delta- \gamma verificado no passo anterior, concluímos que
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=5.

Resposta

5

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