Demostre, usando a definição
e
, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição com
e
, o limite
Informações fornecidas:
- A função considerada é
, definida para . - O ponto de aproximação é
. - A tarefa é provar, pelo critério
- , qual é o valor limite quando tende para .
Passo 2
Vou escrever explicitamente a definição de limite que vou usar (substituindo o usual
por
, conforme pedido): mostrar que
significa: para todo
existe
tal que, para todo
,
Aqui
é a precisão desejada no valor da função (quão perto queremos ficar de
) e
é a distância em
(quão perto de
devemos escolher
) que garante essa precisão.
Passo 3
Fazer uma simplificação algébrica para entender a função perto de
. Para
,
logo
Portanto, para
temos
Passo 4
Agora aplico a definição
-
. Seja um
arbitrário. Escolho
Então, sempre que
satisfizer
(essa distância positiva garante
, então a simplificação anterior vale), obtemos
Isso mostra exatamente que para todo
existe
(a escolha
) tal que
implica
.
Passo 5
Pelo critério
-
verificado no passo anterior, concluímos que
Resposta
5