Se [x] denota a função maior inteiro, encontre lim x infty x[x].
50. Encontre números a e b tais que lim x 0 raiza x+b-2x=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyx[x]
onde [x] é a função piso (maior inteiro <= x). Vamos usar desigualdades envolvendo [x] e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Como sempre vale
[x]<= x< [x]+1,
segue que
1 ;<=; x[x];<; [x]+1[x];=;1+1[x]

Passo 3

Quando xtoinfty, temos [x]toinfty e, portanto, tfrac1[x]to0. Pelo Teorema do Confronto,
limxtoinftyx[x] = 1

Passo 4

O enunciado 50 pede encontrar a e b tais que
limxto 0raiza x + b-2x = 1
Para o limite ser finito e não indefinido, é preciso que a parte de fora cancele em x=0 e em seguida a taxa de variação dê 1.

Passo 5

Para que o numerador se anule em x=0, precisamos de
raizacdot0 + b-2 = 0 Longrightarrow raizb = 2 Longrightarrow b = 4

Passo 6

Com b=4, escrevemos
raiza x + 4-2x = (raiza x + 4-2)(raiza x + 4+2)x(raiza x + 4+2) = a xxl(raiza x + 4+2r) = araiza x + 4+2
Fazendo xto0 fica
limxto0araiza x + 4+2 = a2+2 = a4
Para esse valor ser igual a 1, basta ter
a4 = 1 Longrightarrow a = 4

Resposta

limxtoinftyx[x] = 1
a = 4
b = 4

Exercícios relacionados