Um modelo para o crescimento populacional de uma colônia de algas é dado pela equação logística
d Pd t=k P-m P^2
em que k e m são constantes positivas e P(t) denota o número de algas no instante t.
(a) Assumindo P(0)>0, resolva a equação.
(b) O que ocorre com P(t) para t gg 1 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação logística
dPdt=kP-mP^2,
com k>0, m>0 e condição inicial P(0)>0. O conteúdo é EDO de separável e usaremos separação de variáveis, frações parciais e a condição P(0)=P0 para achar P(t).

Passo 2

Separe as variáveis:
dPP,(k-mP)=dt

Passo 3

Decomponha em frações parciais:
1P(k-mP) =AP+Bk-mP Longrightarrow A=1k,;B=mk
Logo
integraldPP(k-mP) =1kintegraldPP-1kintegraldP,k-mP, =1klnl|Pk-mPr|+C
Igualando a t!+!C obtemos
ln!l|Pk-mPr|=kt+C',
onde C'=kC.

Passo 4

Resolva para P e ajuste C' pela condição P(0)=P0. Exponenciando,
Pk-mP=Ce^kt,
onde C=e^C'. Isolando P
P(t) =C,k,e^kt1+C,m,e^kt
Como P(0)=P0, tem-se P0=C,k1+C,m, de onde
C=mP0k-mP0
Substituindo em P(t), uma forma compacta é
P(t) =k,P0mP0+l(k-mP0r)e^-kt

Passo 5

Para ttoinfty temos e^-ktto0 e
P(t)longrightarrowk,P0mP0 =km
Isso mostra que a população se estabiliza no valor de capacidade de suporte tfrackm.

Resposta

boxed P(t) =k,P0mP0+l(k-mP0r)e^-kt, limttoinftyP(t)=km

Exercícios relacionados