Um modelo para o crescimento populacional de uma colônia de algas é dado pela equação logística
em que
e
são constantes positivas e
denota o número de algas no instante
.
(a) Assumindo
, resolva a equação.
(b) O que ocorre com
para
?
(a) Assumindo
(b) O que ocorre com
Passo 1
O enunciado dá a equação logística
com
,
e condição inicial
. O conteúdo é EDO de separável e usaremos separação de variáveis, frações parciais e a condição
para achar
.
Passo 2
Separe as variáveis:
Passo 3
Decomponha em frações parciais:
Logo
Igualando a
t!+!C obtemos
onde
C'=kC .
Passo 4
Resolva para
P e ajuste
C' pela condição
P(0)=P0 . Exponenciando,
onde
C=e^C' . Isolando
P dá
Como
P(0)=P0 , tem-se
P0=C,k1+C,m , de onde
Substituindo em
P(t) , uma forma compacta é
Passo 5
Para
ttoinfty temos
e^-ktto0 e
Isso mostra que a população se estabiliza no valor de capacidade de suporte
tfrackm .