Seja T um operador linear em R^3 tal que (1,2,1),(0,1,0) e (2,0,1) sejam autovetores de T associados aos autovalores -1,1 e 2 , respectivamente. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz de T em relação à base canônica de R^3 é igual a
(A) 12
(B) 11
(C) 10
(D) 9
(E) 8

Passo 1

O enunciado diz que T é um operador linear em R^3 com três autovetores dados na base canônica:
v1=(1,2,1), lambda1=-1; v2=(0,1,0), lambda2=1; v3=(2,0,1), lambda3=2
Queremos a soma dos elementos da primeira coluna da matriz de T na base canônica. Essa soma é exatamente
sumi=1^3 (T(e1))i,
ou seja, a soma das componentes de T(e1).

Passo 2

Expressamos
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem . Logo e da segunda .

Passo 3

Com isso
e1 = -1,v1 + 2,v2 + 1,v3
Aplicando T, cada autovetor vi é escalado por lambdai, então
T(e1) = -1cdot(-1),v1 + 2cdot1,v2 + 1cdot2,v3 = v1 + 2,v2 + 2,v3
Agora substituímos v1, v2 e v3:
T(e1) = (1,2,1) +2,(0,1,0)+2,(2,0,1) = (1+0+4,;2+2+0,;1+0+2) = (5,4,3)

Passo 4

A primeira coluna da matriz de T em relação à base canônica é justamente T(e1). Assim, a soma de seus elementos é
5 + 4 + 3 = 12

Resposta

(A) 12

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