Se A é 4 times 4 e det(3 A^-1)=5=det(A^2(B^t)^-1), encontre det(A) e det(B).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 4 e afirma duas igualdades envolvendo determinantes:
detl(3A^-1r)=5 e detl(A^2(B^t)^-1r)=5
O conteúdo que vamos usar é:
  1. det(cM)=c^ndet(M) para M quadrada ntimes n.
  2. det(M^-1)=dfrac1det(M).
  3. det(XY)=det(X),det(Y).
  4. det(B^t)=det(B).

Passo 2

Da primeira condição temos
detl(3A^-1r) =3^4,detl(A^-1r) =81,1det(A) =5
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81det(A)=5 Longrightarrow det(A)=815

Passo 3

Da segunda condição usamos o produto de determinantes e a transposta:
detl(A^2(B^t)^-1r) =det(A^2),detl((B^t)^-1r) =l[det(A)r]^2,1det(B^t) =det(A)^2det(B)
Como isso vale 5 e já sabemos det(A)=81/5, temos
l(tfrac815r)^2det(B)=5 Longrightarrow 6561/25det(B)=5 Longrightarrow det(B)=656125cdot5=6561125

Resposta

det(A)=815
det(B)=6561125

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