Denotamos por \mathcal{C}(\mathbb{R}) o conjunto das funções contínuas de \mathbb{R} em \mathbb{R} e, por \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}) o conjunto das funções deriváveis e com derivadas contínuas de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Ambos conjuntos são subconjuntos de \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}). Mostre que \mathcal{C}(\mathbb{R}) e \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}) são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) com as operações usuais (ver Exercício 1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathcal{C}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções contínuas \mathbb{R}\to\mathbb{R}, e \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções de classe C^{1} (deriváveis com derivada contínua) \mathbb{R}\to\mathbb{R},
são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) quando este último é equipado com as operações usuais de soma pontual e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar que cada conjunto contém a função nula, e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Definimos em \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) as operações
(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad (\alpha f)(x)=\alpha\,f(x).
  1. A função nula 0\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por 0(x)=0, é contínua e tem derivada 0, então 0\in\mathcal{C}(\mathbb{R}) e 0\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}).
  2. Se f e g são contínuas, então f+g também é contínua e, para qualquer \alpha\in\mathbb{R}, \alpha f é contínua (soma e múltiplo escalar de funções contínuas são contínuos). Logo \mathcal{C}(\mathbb{R}) é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo subespaço vetorial.

Passo 3

Agora veja \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}).
  1. Já vimos que 0\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}).
  2. Se f,g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}), então elas são deriváveis e f',g' são contínuas. A derivada de f+g é
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x),
que é soma de contínuas e portanto contínua; e a derivada de \alpha f é
(\alpha f)'(x)=\alpha\,f'(x),
também contínua. Logo f+g e \alpha f pertencem a \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}). Assim \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}) é subespaço vetorial.

Resposta

Mostramos que tanto \mathcal{C}(\mathbb{R}) quanto \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}) contêm a função zero e são fechados sob soma e multiplicação escalar, logo ambos são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).

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