Denotamos por
o conjunto das funções contínuas de
em
e, por
o conjunto das funções deriváveis e com derivadas contínuas de
em
. Ambos conjuntos são subconjuntos de
. Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
com as operações usuais (ver Exercício 1).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, o conjunto de todas as funções contínuas
, e
, o conjunto de todas as funções de classe
(deriváveis com derivada contínua)
,
são subespaços vetoriais de quando este último é equipado com as operações usuais de soma pontual e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o critério de subespaço: verificar que cada conjunto contém a função nula, e é fechado sob soma e multiplicação escalar.
são subespaços vetoriais de
Passo 2
Definimos em
as operações
- A função nula
, dada por , é contínua e tem derivada , então e . - Se
e são contínuas, então também é contínua e, para qualquer , é contínua (soma e múltiplo escalar de funções contínuas são contínuos). Logo é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo subespaço vetorial.
Passo 3
Agora veja
.
- Já vimos que
. - Se
, então elas são deriváveis e são contínuas. A derivada de é
que é soma de contínuas e portanto contínua; e a derivada de
é
também contínua. Logo
e
pertencem a
. Assim
é subespaço vetorial.
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
contêm a função zero e são fechados sob soma e multiplicação escalar, logo ambos são subespaços vetoriais de
.