(a) Encontre uma matriz P_{3 \times 3} tal que P^{2025}=P e, além disso, todas as entradas de P são números positivos.
(b) Seja v \in \mathbb{R}^{3}. É possível que a matriz de projeção sobre v tenha valores negativos em todas as suas entradas?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) achar uma matriz P\in\mathbb{R}^{3\times3} com todas as entradas positivas e tal que
P^{2025}=P,
e (b) verificar se a matriz de projeção ortogonal sobre um vetor v\in\mathbb{R}^3 pode ter todas as suas entradas negativas.
Passo 2
Uma maneira clássica de ter P^2=P (e logo P^{2025}=P) é escolher P como a matriz cujas entradas são todas iguais a um número positivo c de tal forma que P^2=P. Se
cumpre P^{2025}=P e tem todas as entradas positivas.
(b) Não, a matriz de projeção sobre v sempre tem entradas diagonais \tfrac{v_i^2}{\|v\|^2}\ge0, de modo que não pode ter todas as entradas negativas.