(a) Encontre uma matriz P_{3 \times 3} tal que P^{2025}=P e, além disso, todas as entradas de P são números positivos.
(b) Seja v \in \mathbb{R}^{3}. É possível que a matriz de projeção sobre v tenha valores negativos em todas as suas entradas?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) achar uma matriz P\in\mathbb{R}^{3\times3} com todas as entradas positivas e tal que
P^{2025}=P,
e (b) verificar se a matriz de projeção ortogonal sobre um vetor v\in\mathbb{R}^3 pode ter todas as suas entradas negativas.

Passo 2

Uma maneira clássica de ter P^2=P (e logo P^{2025}=P) é escolher P como a matriz cujas entradas são todas iguais a um número positivo c de tal forma que P^2=P. Se
P = c\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
então
P^2 = c^2\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 3 & 3 & 3\\\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3c^2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para ter P^2=P basta 3c^2=c, isto é, c=\tfrac{1}{3} (desprezamos a solução c=0 que não dá entradas positivas).

Passo 3

Logo podemos definir
P = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Como P^2=P, conclui-se por indução que P^{2025}=P. Todas as entradas são \tfrac{1}{3}>0, satisfazendo o pedido de (a).

Passo 4

Para (b), a matriz de projeção ortogonal sobre um vetor v\neq0 é
P_v = \frac{v\,v^{T}}{v^{T}v}.
O elemento da linha i e coluna j de P_v é
(P_v)_{ij} = \frac{v_i\,v_j}{\sum_{k=1}^{3}v_k^2}.

Passo 5

Em particular, os elementos diagonais são
(P_v)_{ii} = \frac{v_i^2}{\|v\|^2},
que são sempre não negativos (e só seriam 0 se v_i=0). Logo não é possível que todas as entradas de P_v sejam negativas, pois as diagonais são \ge0.

Resposta

(a)
P = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
cumpre P^{2025}=P e tem todas as entradas positivas.
(b) Não, a matriz de projeção sobre v sempre tem entradas diagonais \tfrac{v_i^2}{\|v\|^2}\ge0, de modo que não pode ter todas as entradas negativas.

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