Verifique se em cada um dos itens o conjunto S é um subespaço vetorial de V.
S=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right)\right\}, onde V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \left\{\begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix} \mid a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço de V = M_{2}(\mathbb{R}).
Para isso, usamos o critério de subespaço:
  1. S não é vazio (tem a matriz zero).
  2. S é fechado sob adição.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero de M_{2}(\mathbb{R}) está em S.
Basta tomar a=0 e b=0:
\begin{pmatrix}0 & -0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \in S.

Passo 3

Mostramos que a soma de duas matrizes de S permanece em S.
Seja
A = \begin{pmatrix}a_1 & -b_1 \\\ b_1 & a_1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a_2 & -b_2 \\\ b_2 & a_2\end{pmatrix}.
Então
A + B = \begin{pmatrix}a_1 + a_2 & -(b_1 + b_2) \\\ b_1 + b_2 & a_1 + a_2\end{pmatrix},
e como a_1+a_2 e b_1+b_2 são reais, A+B\in S.

Passo 4

Mostramos que a multiplicação de qualquer matriz de S por um escalar \lambda\in\mathbb{R} fica em S.
Seja
A = \begin{pmatrix}a & -b \\\ b & a\end{pmatrix}\in S.
Então
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & -\lambda b \\\ \lambda b & \lambda a\end{pmatrix},
e como \lambda a,\lambda b\in\mathbb{R}, segue \lambda A\in S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

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