Seja
é função
. Consideremos as operações:
onde
.
.
onde
Mostre que
é um espaço vetorial real.
.
onde
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações ponto a ponto
com as operações ponto a ponto
Para mostrar que
é um espaço vetorial real, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial sobre
: fechamento, propriedades da soma (comutativa, associativa, elemento neutro, inverso) e propriedades da multiplicação escalar (distributividades, associatividade escalar e elemento neutro escalar).
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação escalar. Sejam
e
. Para todo
temos
e
, logo
e
Assim
e
são aplicações de
em
, ou seja pertencem a
.
Passo 3
Comutatividade e associatividade da soma. Para
e todo
:
e
Logo
e
.
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo. Definimos a função zero
por
Então
e
. Para cada
definimos
por
. Assim
e
.
Passo 5
Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares. Para
e
, e todo
:
Passo 6
Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de funções. Para
e
:
Passo 7
Associatividade e elemento unitário escalar. Para
e
:
e
ou seja
.
Resposta
Todos os axiomas de espaço vetorial sobre
foram verificados, logo
é um espaço vetorial real.