Seja \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f é função \}. Consideremos as operações:
\begin{aligned} +: \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \times \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) & \longrightarrow \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \\\ (f, g) & \longmapsto f+g \end{aligned}
onde (f+g)(x)=f(x)+g(x), \forall x \in \mathbb{R}.
. : \mathbb{R} \times \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})
(\alpha, f) \quad \longmapsto \quad \alpha f
onde (\alpha f)(x)=\alpha f(x), \forall x \in \mathbb{R}
Mostre que \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) = \{f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\}
com as operações ponto a ponto
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(\alpha f)(x)=\alpha\,f(x).
Para mostrar que \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) é um espaço vetorial real, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}: fechamento, propriedades da soma (comutativa, associativa, elemento neutro, inverso) e propriedades da multiplicação escalar (distributividades, associatividade escalar e elemento neutro escalar).

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação escalar. Sejam f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) e \alpha\in\mathbb{R}. Para todo x\in\mathbb{R} temos f(x)\in\mathbb{R} e g(x)\in\mathbb{R}, logo
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\in\mathbb{R}
e
(\alpha f)(x)=\alpha\,f(x)\in\mathbb{R}.
Assim f+g e \alpha f são aplicações de \mathbb{R} em \mathbb{R}, ou seja pertencem a \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).

Passo 3

Comutatividade e associatividade da soma. Para f,g,h\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) e todo x\in\mathbb{R}:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x),
\bigl((f+g)+h\bigr)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)
e
\bigl(f+(g+h)\bigr)(x)=f(x)+(g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x).
Logo f+g=g+f e (f+g)+h=f+(g+h).

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo. Definimos a função zero 0\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
0(x)=0\quad\forall x.
Então (f+0)(x)=f(x)+0=f(x) e 0+f=f. Para cada f definimos -f por (-f)(x)=-f(x). Assim
(f+(-f))(x)=f(x)-f(x)=0
e f+(-f)=0.

Passo 5

Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares. Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), e todo x:
\bigl((\alpha+\beta)f\bigr)(x)=(\alpha+\beta)f(x) =\alpha\,f(x)+\beta\,f(x) =(\alpha f+\beta f)(x).

Passo 6

Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de funções. Para \alpha\in\mathbb{R} e f,g:
\bigl(\alpha(f+g)\bigr)(x)=\alpha\bigl(f(x)+g(x)\bigr) =\alpha f(x)+\alpha g(x) =(\alpha f+\alpha g)(x).

Passo 7

Associatividade e elemento unitário escalar. Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f:
\bigl(\alpha(\beta f)\bigr)(x)=\alpha\bigl(\beta f(x)\bigr)=(\alpha\beta)f(x) =\bigl((\alpha\beta)f\bigr)(x),
e
(1\cdot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x),
ou seja 1f=f.

Resposta

Todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} foram verificados, logo \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) é um espaço vetorial real.

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