9 Denote por [b] a representação matricial de uma forma bilinear b em V com relação à base V de b mapsto[b]. Mostre que a função B(V) é um isomorfismo entre Mn(K) e .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação que leva uma forma bilinear b em B(V) à sua matriz [b] em M_n(K) é um isomorfismo de espaços vetoriais. O conteúdo envolve bilinearidade, representação matricial em uma base e argumentos de linearidade, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para verificar que a aplicação b↦[b] é linear, tome b₁,b₂∈B(V) e α∈K. Como a soma e a multiplicação escalar de formas bilineares se definem ponto a ponto, temos para cada i,j:
(b₁+b₂)(ei,ej)=b₁(ei,ej)+b₂(ei,ej),
então a entrada (i,j) de [b₁+b₂] é a soma das entradas correspondentes de [b₁] e [b₂]. Do mesmo modo,
(αb₁)(ei,ej)=α·b₁(ei,ej),
logo [αb₁]=α[b₁]. Isso mostra linearidade.

Passo 3

Para injetividade, suponha que [b]=0 (matriz nula). Então b(e_i,e_j)=0 para todo i,j. Qualquer vetor u∈V pode-se escrever como combinação linear dos e_i, digamos u=∑_i u_i e_i, e igualmente v=∑_j v_j e_j. Pela bilinearidade,
b(u,v)=sumi,jui vj b(ei,ej)=0
Assim b é a forma zero, e o núcleo da aplicação é trivial. Portanto, ela é injetiva.

Passo 4

Para sobrejetividade, dado qualquer A=(a_{ij}) em M_n(K), definimos uma forma bilinear b_A por
bA(ei,ej)=aij
para cada par (i,j) e estendemos bilinearmente a V×V. Pela construção, a matriz de b_A é exatamente A, ou seja, [b_A]=A. Logo a aplicação é sobrejetiva.

Passo 5

Como o mapeamento é linear, injetivo e sobrejetivo, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais entre B(V) e M_n(K).

Resposta

A aplicação b↦[b] é um isomorfismo linear entre B(V) e M_n(K), pois é linear, injetiva e sobrejetiva.

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