9 Denote por [b] a representação matricial de uma forma bilinear
em
com relação à base
de
. Mostre que a função
é um isomorfismo entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação que leva uma forma bilinear b em B(V) à sua matriz [b] em M_n(K) é um isomorfismo de espaços vetoriais. O conteúdo envolve bilinearidade, representação matricial em uma base e argumentos de linearidade, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para verificar que a aplicação b↦[b] é linear, tome b₁,b₂∈B(V) e α∈K. Como a soma e a multiplicação escalar de formas bilineares se definem ponto a ponto, temos para cada i,j:
então a entrada (i,j) de [b₁+b₂] é a soma das entradas correspondentes de [b₁] e [b₂]. Do mesmo modo,
logo [αb₁]=α[b₁]. Isso mostra linearidade.
Passo 3
Para injetividade, suponha que [b]=0 (matriz nula). Então b(e_i,e_j)=0 para todo i,j. Qualquer vetor u∈V pode-se escrever como combinação linear dos e_i, digamos u=∑_i u_i e_i, e igualmente v=∑_j v_j e_j. Pela bilinearidade,
Assim b é a forma zero, e o núcleo da aplicação é trivial. Portanto, ela é injetiva.
Passo 4
Para sobrejetividade, dado qualquer A=(a_{ij}) em M_n(K), definimos uma forma bilinear b_A por
para cada par (i,j) e estendemos bilinearmente a V×V. Pela construção, a matriz de b_A é exatamente A, ou seja, [b_A]=A. Logo a aplicação é sobrejetiva.
Passo 5
Como o mapeamento é linear, injetivo e sobrejetivo, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais entre B(V) e M_n(K).
Resposta
A aplicação b↦[b] é um isomorfismo linear entre B(V) e M_n(K), pois é linear, injetiva e sobrejetiva.