7 Seja
uma forma bilinear em
. Para qualquer subconjunto
de
, escrevemos:
Mostre que:
(i)
e
são subespaços de
.
(ii)
implica
e
.
(iii)
.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
A ideia geral é mostrar propriedades de subespaço e inclusões usando a definição de forma bilinear. O conteúdo é complementar ortogonal em espaços vetoriais com forma bilinear, e vamos precisar usar as propriedades de bilinearidade (linearidade em cada argumento) e as definições de S^⊥ e S^⊤.
Passo 2
Para mostrar que S^⊥ é subespaço de V, primeiro vemos que o vetor zero está lá: para todo x em S, pela bilinearidade temos b(x,0)=0, logo 0∈S^⊥. Depois, se y₁,y₂∈S^⊥ então para todo x em S temos
e para qualquer escalar α:
Logo y₁+y₂ e αy₁ também estão em S^⊥, provando que é subespaço.
Passo 3
O mesmo argumento vale para S^⊤: note que b(y₁+y₂,x)=b(y₁,x)+b(y₂,x) e b(αy,x)=α,b(y,x), então 0∈S^⊤ e S^⊤ é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Assim S^⊤ é subespaço de V.
Passo 4
Para a inclusão, suponha S₁⊆S₂. Se y∈S₂^⊥ então b(x,y)=0 para todo x∈S₂. Como S₁⊆S₂, isso vale em particular para todo x∈S₁, logo y∈S₁^⊥. Portanto
Analogamente, se y∈S₂^⊤ então b(y,x)=0 para todo x∈S₂ e, em especial, para todo x∈S₁, dando
Passo 5
Para o caso {0}, note que {0}^⊥ é o conjunto de y tais que b(0,y)=0. Mas pela bilinearidade b(0,y)=0 para todo y∈V, então não há restrição e {0}^⊥=V. O mesmo raciocínio vale para {0}^⊤, pois b(y,0)=0 sempre. Assim {0}^⊤=V.
Resposta
i) S^⊥ e S^⊤ são subespaços de V.
ii) Se S₁⊆S₂ então S₂⊥⊆S₁⊥ e S₂⊤⊆S₁⊤.
iii) {0}⊥={0}⊤=V.
ii) Se S₁⊆S₂ então S₂⊥⊆S₁⊥ e S₂⊤⊆S₁⊤.
iii) {0}⊥={0}⊤=V.