Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares rrr1 & 0 & 1 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

Temos a transformação linear T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica é
A=1 & 0 & 1 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1
O objetivo é achar dimensão e bases de ker(T) e Im(T).

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss em A, subtraindo a primeira linha da terceira, obtemos a forma escalonada
1 & 0 & 1 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0

Passo 3

Do sistema homogêneo Ax=0 vêm as equações:
x1 + x3 = 0,
-,x2 + 2x3 = 0
Definindo parâmetro t = x3, temos
x1 = -t,
x2 = 2t,
x3 = t,
logo o vetor geral é x = t(-1,2,1).

Passo 4

Portanto ker(T) tem dimensão 1 e base
(-1,2,1)

Passo 5

As colunas 1 e 2 de A são pivôs, então geram Im(T). São
(1,0,1),(0,-1,0)

Passo 6

Logo Im(T) tem dimensão 2 e base
(1,0,1),,(0,-1,0)

Resposta

dim\bigl(\ker(T)\bigr)=1, base{(-1,2,1)}; dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr)=2, base{(1,0,1),(0,-1,0)}

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