Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
Temos a transformação linear
T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica é
O objetivo é achar dimensão e bases de
ker(T) e
Im(T) .
Passo 2
Aplicando eliminação de Gauss em
A , subtraindo a primeira linha da terceira, obtemos a forma escalonada
Passo 3
Do sistema homogêneo
Ax=0 vêm as equações:
Definindo parâmetro
t = x3 , temos
logo o vetor geral é
x = t(-1,2,1) .
Passo 4
Portanto
ker(T) tem dimensão 1 e base
Passo 5
As colunas 1 e 2 de
A são pivôs, então geram
Im(T) . São
Passo 6
Logo
Im(T) tem dimensão 2 e base
Resposta
dim\bigl(\ker(T)\bigr)=1, base{(-1,2,1)}; dim\bigl(\mathrm{Im}(T)\bigr)=2, base{(1,0,1),(0,-1,0)}