Determine a série de Fourier da extensão ímpar e 2 \pi-periódica da funçãos f(x)=\cos x, 0<x<\pi.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da extensão ímpar e 2\pi-periódica da função f(x)=\cos x em 0<x<\pi. Como a extensão é ímpar, sabemos que a série de Fourier terá apenas termos de seno (coeficientes a_n=0 e a_0=0).

Passo 2

Para uma função ímpar de período 2\pi, os coeficientes de Fourier são
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.
Como f é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, o produto é par, e podemos escrever
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Para calcular a integral usamos a fórmula produto-para-soma:
\cos x \,\sin(nx) =\tfrac12\bigl[\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)\bigr].
Logo,
\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin((n+1)x)\,dx +\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin((n-1)x)\,dx.
E sabemos que
\int_{0}^{\pi}\sin(kx)\,dx =\frac{1-(-1)^k}{k}.

Passo 4

  • Se n é ímpar, então n\pm1 é par e cada integral vale zero, logo b_n=0.
  • Se n=2m é par, então n\pm1 é ímpar e
\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(2m x)\,dx =\tfrac12\Bigl(\frac{2}{2m+1}+\frac{2}{2m-1}\Bigr) =\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m-1} =\frac{4m}{4m^2-1}.
Portanto
b_{2m} =\frac{2}{\pi}\,\frac{4m}{4m^2-1} =\frac{8m}{\pi\,(4m^2-1)}.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier da extensão ímpar fica
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\sum_{m=1}^{\infty}b_{2m}\sin(2m x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8m}{\pi(4m^2-1)}\;\sin(2m x).

Resposta

f(x)\sim\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8m}{\pi\,(4m^2-1)}\,\sin(2m x).

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