Determine a série de Fourier da extensão ímpar e
-periódica da funçãos
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da extensão ímpar e
-periódica da função
em
. Como a extensão é ímpar, sabemos que a série de Fourier terá apenas termos de seno (coeficientes
e
).
Passo 2
Para uma função ímpar de período
, os coeficientes de Fourier são
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto é par, e podemos escrever
Passo 3
Para calcular a integral usamos a fórmula produto-para-soma:
Logo,
E sabemos que
Passo 4
- Se
é ímpar, então é par e cada integral vale zero, logo . - Se
é par, então é ímpar e
Portanto
Passo 5
Reunindo tudo, a série de Fourier da extensão ímpar fica