Encontre as direções nas quais
(a) Cresce mais rapidamente no ponto
;
(b) Decresce mais rapidamente em
;
(c) Quais são as direções de variação zero de
em
?
(a) Cresce mais rapidamente no ponto
(b) Decresce mais rapidamente em
(c) Quais são as direções de variação zero de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, no ponto
, as direções em que
cresce mais rápido, decresce mais rápido e varia zero. O conteúdo necessário é o conceito de derivada direcional e gradiente: sabemos que a derivada direcional de
na direção unitária
em
é
e que o gradiente aponta na direção de máximo crescimento.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Em particular, em
temos
Passo 3
A direção de máximo crescimento é a direção do gradiente normalizado. Logo
Passo 4
A direção de máximo decrescimento é o oposto do gradiente normalizado, ou seja,
Passo 5
As direções de variação zero satisfazem
Tomando
e
, obtemos as direções
Resposta
(a) Direção de máximo crescimento:
.
(b) Direção de máximo decrescimento: .
(c) Direções de variação zero: e
.
(b) Direção de máximo decrescimento:
(c) Direções de variação zero: