Encontre as direções nas quais f(x, y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}
(a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1);
(b) Decresce mais rapidamente em (1,1);
(c) Quais são as direções de variação zero de f em (1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}
e pede, no ponto (1,1), as direções em que f cresce mais rápido, decresce mais rápido e varia zero. O conteúdo necessário é o conceito de derivada direcional e gradiente: sabemos que a derivada direcional de f na direção unitária \mathbf{u} em (x,y) é
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}
e que o gradiente aponta na direção de máximo crescimento.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(x,y).
Em particular, em (1,1) temos
\nabla f(1,1)=(1,1).

Passo 3

A direção de máximo crescimento é a direção do gradiente normalizado. Logo
\mathbf{u}_{\text{max}}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{1^2+1^2}}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

A direção de máximo decrescimento é o oposto do gradiente normalizado, ou seja,
\mathbf{u}_{\text{min}}=-\mathbf{u}_{\text{max}}=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 5

As direções de variação zero satisfazem
\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=0 \quad\Longrightarrow\quad (1,1)\cdot(u_1,u_2)=u_1+u_2=0.
Tomando \,u_1=-u_2 e \|\mathbf{u}\|=1, obtemos as direções
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Resposta

(a) Direção de máximo crescimento: \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).
(b) Direção de máximo decrescimento: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).
(c) Direções de variação zero: \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

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