Denote por
o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes racionais qual é munido da soma e multiplicação por escalar
e
em que
e
. Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de
?
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todos os polinômios (com coeficientes em
) sobre o corpo
, e pede para verificar se
é subespaço. Para isso vamos usar o critério usual de subespaço:
- O polinômio zero pertence a
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que o polinômio zero
pertence a
. De fato,
logo
e
.
Passo 3
Verificar a soma: sejam
. Então
Para o polinômio
temos
Logo
, ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificar a multiplicação por escalar: seja
e
. Então
Para
temos
Logo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.