Denote por P(R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes racionais qual é munido da soma e multiplicação por escalar
+: P(R) times P(R) P(R)
(f, g) longmapsto f+g
e
cdot: R times P(R) & P(R) (alpha, g) & longmapsto alpha cdot g
em que (f+g)(t)=f(t)+g(t) e (alpha cdot g)(t)=alpha g(t), forall alpha, t in R. Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de P(R) ?
W=f(t) ; f(0)=2 f(1)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P(R) de todos os polinômios (com coeficientes em R) sobre o corpo R, e pede para verificar se
W = lfin P(R) mid f(0)=2,f(1)r
é subespaço. Para isso vamos usar o critério usual de subespaço:
  1. O polinômio zero pertence a W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero f(t)=0 pertence a W. De fato,
f(0)=0 e 2,f(1)=2cdot0=0,
logo f(0)=2f(1) e 0in W.

Passo 3

Verificar a soma: sejam f,gin W. Então
f(0)=2f(1) e g(0)=2g(1)
Para o polinômio f+g temos
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=2f(1)+2g(1)=2l(f(1)+g(1)r)=2,(f+g)(1)
Logo f+gin W, ou seja, W é fechado sob soma.

Passo 4

Verificar a multiplicação por escalar: seja alphainR e fin W. Então
f(0)=2f(1)
Para alpha f temos
(alpha f)(0)=alpha,f(0)=alphacdot2f(1)=2l(alpha,f(1)r)=2,(alpha f)(1)
Logo alpha fin W, ou seja, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é subespaço de P(R).

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