Sejam
e
espaços vetoriais sobre
. Prove que
também é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas subcoleções
e
que já são espaços vetoriais sobre
(isto é, subespaços de algum espaço vetorial maior ou mesmo espaços em si), a interseção
também satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Para isso basta verificar que
contém o vetor zero e é fechada sob soma e multiplicação escalar, pois as demais propriedades (associatividade, comutatividade, existência de inverso) herdam-se automaticamente de
(ou de
).
Passo 2
Verificamos que o vetor zero de
-espaço em que
e
estão definidos pertence a
. Como
e
são espaços vetoriais, eles contêm o vetor zero, digamos
. Logo
implica
Passo 3
Mostramos fechamento sob soma. Tomemos vetores arbitrários
. Isto significa
Como
e
são fechados sob soma, temos
Então
ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Pela propriedade de subespaço,
Logo
o que mostra o fechamento escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, ele é um subespaço vetorial de
. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.