Sejam V1 e V2 espaços vetoriais sobre R. Prove que V1 cap V2 também é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas subcoleções V1 e V2 que já são espaços vetoriais sobre R (isto é, subespaços de algum espaço vetorial maior ou mesmo espaços em si), a interseção
V1cap V2
também satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Para isso basta verificar que V1cap V2 contém o vetor zero e é fechada sob soma e multiplicação escalar, pois as demais propriedades (associatividade, comutatividade, existência de inverso) herdam-se automaticamente de V1 (ou de V2).

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de R-espaço em que V1 e V2 estão definidos pertence a V1cap V2. Como V1 e V2 são espaços vetoriais, eles contêm o vetor zero, digamos 0. Logo
0in V1 e 0in V2
implica
0in V1cap V2

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma. Tomemos vetores arbitrários u,vin V1cap V2. Isto significa
uin V1,;uin V2, vin V1,;vin V2
Como V1 e V2 são fechados sob soma, temos
u+vin V1 e u+vin V2
Então
u+vin V1cap V2,
ou seja, V1cap V2 é fechado sob soma.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e uin V1cap V2. Então
uin V1 e uin V2
Pela propriedade de subespaço,
alpha,uin V1 e alpha,uin V2
Logo
alpha,uin V1cap V2,
o que mostra o fechamento escalar.

Resposta

Como V1cap V2 contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, ele é um subespaço vetorial de R. Portanto, V1cap V2 é um espaço vetorial sobre R.

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