Sejam
e
matrizes quadradas
e
um escalar qualquer. Mostre que:
Se
é invertível, então
. (faça para o caso
)
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, no caso
, que se
e
são matrizes
e
é invertível então
O conteúdo principal é a definição de traço e a fórmula de inversa de matriz
.
Passo 2
Escrevemos
e
com entradas genéricas:
com
.
Passo 3
Calculamos o produto
:
Passo 4
Usamos a fórmula da inversa de
:
Passo 5
Agora formamos
C = B^-1(AB) . Como só precisamos da traço de
C , basta somar os elementos diagonais de
Passo 6
O elemento
(1,1) de
C é
e o
(2,2) é
Somando-os para obter
tr(C) e reunindo termos dá
Resposta
Portanto, para
n=2 temos