Sejam A e B matrizes quadradas n times n e alpha um escalar qualquer. Mostre que:
Se B é invertível, então tr(B^-1 A B)=tr(A). (faça para o caso n=2 )

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, no caso n=2, que se A e B são matrizes 2times2 e B é invertível então
trl(B^-1ABr)=tr(A)
O conteúdo principal é a definição de traço e a fórmula de inversa de matriz 2times2.

Passo 2

Escrevemos A e B com entradas genéricas:
A = a & b c & d , B = e & f g & h ,
com det B = eh - fg neq 0.

Passo 3

Calculamos o produto A B:
AB = a & b c & d e & f g & h = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh

Passo 4

Usamos a fórmula da inversa de B:
B^-1 = 1eh - fg h & -f -g & e

Passo 5

Agora formamos C = B^-1(AB). Como só precisamos da traço de C, basta somar os elementos diagonais de
C = 1eh - fg h & -f -g & e ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh

Passo 6

O elemento (1,1) de C é
1eh - fgl(h,(ae+bg);-;f,(ce+dg)r),
e o (2,2) é
1eh - fgl(-g,(af+bh);+;e,(cf+dh)r)
Somando-os para obter tr(C) e reunindo termos dá
1eh - fgl[(a+d)(eh - fg)r] = a + d = tr(A)

Resposta

Portanto, para n=2 temos
trl(B^-1ABr) = tr(A)

Exercícios relacionados