Primeiro faça uma substituição, e então use integração por partes para calcular:
\int \cos x \ln (\sin x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int \cos x \,\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar a expressão e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx.
Com isso a integral original \displaystyle \int \cos x \,\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx
torna-se
\int \ln(u)\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \ln(u)\,du, usamos integração por partes, usando a fórmula
\int A\,dB = A\,B - \int B\,dA.
Escolhemos
A = \ln(u),\quad dB = du \quad\Longrightarrow\quad dA = \frac{1}{u}\,du,\;B = u.
Então
\int \ln(u)\,du = u\,\ln(u) - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\,\ln(u) - \int 1\,du = u\,\ln(u) - u + C.

Passo 4

Voltando à variável original, substituímos u = \sin x. Assim
\int \cos x\,\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx = \sin x\,\ln\bigl(\sin x\bigr) - \sin x + C.

Resposta

\sin x\,\ln\bigl(\sin x\bigr) - \sin x + C

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