Verifique, em cada item abaixo, se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço V (com operações usuais).
(a) V=\mathbb{R}^{4}, \quad W=\left\{(x, x, y, y) \in \mathbb{R}^{4} ; x, y \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathbb{R}^{4} com as operações usuais e o subconjunto
W=\{(x,x,y,y)\in\mathbb{R}^{4} \;:\; x,y\in\mathbb{R}\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.\n
As informações relevantes são:
  • Cada vetor de W tem a forma (x,x,y,y) com x,y\in\mathbb{R}.
  • As operações em V são a adição componente a componente e a multiplicação por escalar usual.

Passo 2

Lembrete do que significa ser subespaço vetorial (vamos usar o teste padrão, bem direto):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W não é vazio (usualmente verificamos contendo o vetor zero);
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.\n
    Vou aplicar esses três itens passo a passo. Cada verificação envolve escrever explicitamente as coordenadas e mostrar que a forma (x,x,y,y) se preserva.

Passo 3

Verificar se W não é vazio, isto é, verificar se o vetor nulo de V pertence a W.
O vetor zero em \mathbb{R}^4 é (0,0,0,0). Podemos escolher x=0 e y=0 para obter (x,x,y,y)=(0,0,0,0).
Portanto (0,0,0,0)\in W. Assim W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição.
Sejam dois vetores arbitrários de W:
u=(x,x,y,y)\quad\text{e}\quad v=(x',x',y',y'),
com x,y,x',y'\in\mathbb{R} (essas informações vêm da definição de W).
Somando componente a componente (operação de V) obtemos
u+v = (x+x',\;x+x',\;y+y',\;y+y').
Observe que x+x'\in\mathbb{R} e y+y'\in\mathbb{R}. Logo u+v tem a forma (\tilde x,\tilde x,\tilde y,\tilde y) com \tilde x=x+x' e \tilde y=y+y'. Portanto u+v\in W.
Assim W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Tome um vetor arbitrário de W,
u=(x,x,y,y)
com x,y\in\mathbb{R}, e um escalar arbitrário \lambda\in\mathbb{R}.
Multiplicando cada componente por \lambda obtemos
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda y).
Como \lambda x\in\mathbb{R} e \lambda y\in\mathbb{R}, o vetor \lambda u também tem a forma (\tilde x,\tilde x,\tilde y,\tilde y) com \tilde x=\lambda x e \tilde y=\lambda y. Portanto \lambda u\in W.
Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão com base nas três verificações anteriores: W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto W satisfaz os critérios para ser subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^4.\n
Comentário adicional didático (opcional, para entender a estrutura): qualquer vetor de W pode ser escrito como combinação linear
(x,x,y,y) = x\,(1,1,0,0) + y\,(0,0,1,1),
mostrando que W=\operatorname{span}\{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\}. Isso também explica por que W é um subespaço (span de vetores pertence sempre ao espaço gerado) e que a dimensão de W é 2.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{4}.

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