Verifique, em cada item abaixo, se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
(com operações usuais).
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o espaço
com as operações usuais e o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.\n
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- Cada vetor de
tem a forma com . - As operações em
são a adição componente a componente e a multiplicação por escalar usual.
Passo 2
Lembrete do que significa ser subespaço vetorial (vamos usar o teste padrão, bem direto):
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
Um subconjunto
-
não é vazio (usualmente verificamos contendo o vetor zero); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .\n
Vou aplicar esses três itens passo a passo. Cada verificação envolve escrever explicitamente as coordenadas e mostrar que a formase preserva.
Passo 3
Verificar se
não é vazio, isto é, verificar se o vetor nulo de
pertence a
.
O vetor zero em é
. Podemos escolher
e
para obter
.
Portanto . Assim
não é vazio e contém o vetor zero.
O vetor zero em
Portanto
Passo 4
Verificar fechamento sob adição.
Sejam dois vetores arbitrários de :
Sejam dois vetores arbitrários de
com
(essas informações vêm da definição de
).
Somando componente a componente (operação de ) obtemos
Somando componente a componente (operação de
Observe que
e
. Logo
tem a forma
com
e
. Portanto
.
Assim é fechado sob adição.
Assim
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Tome um vetor arbitrário de ,
Tome um vetor arbitrário de
com
, e um escalar arbitrário
.
Multiplicando cada componente por obtemos
Multiplicando cada componente por
Como
e
, o vetor
também tem a forma
com
e
. Portanto
.
Assim é fechado sob multiplicação por escalar.
Assim
Passo 6
Conclusão com base nas três verificações anteriores:
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto
satisfaz os critérios para ser subespaço vetorial de
.\n
Comentário adicional didático (opcional, para entender a estrutura): qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear
Comentário adicional didático (opcional, para entender a estrutura): qualquer vetor de
mostrando que
. Isso também explica por que
é um subespaço (span de vetores pertence sempre ao espaço gerado) e que a dimensão de
é
.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.