Denote por widehat{f} a série de Fourier de uma função 2 \pi periódica f : \\Re \rightarrow \Re. Dadas f, g: \Re \rightarrow \Re 2 \pi periódicas e integráveis em [-\pi, \pi] e \alpha \in \Re, prove que:
a) \widehat{\alpha f}=\alpha \cdot \widehat{f}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função 2\pi-periódica e integrável f em [-\pi,\pi] e um escalar \alpha\in\Re, a série de Fourier de \alpha f é igual a \alpha vezes a série de Fourier de f. O conteúdo envolvido é a definição de coeficientes de Fourier e a linearidade da integral.

Passo 2

Recordando a definição de coeficiente de Fourier: para cada k\in\mathbb{Z},
\widehat{f}(k) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-ikx}\,\mathrm{d}x.
Análoga­mente, o coeficiente de \alpha f é
\widehat{(\alpha f)}(k) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\alpha f(x)\bigr)\,e^{-ikx}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Usando a linearidade da integral (posso tirar constantes multiplicativas para fora da integral), obtemos
\widehat{(\alpha f)}(k) =\frac{1}{2\pi}\,\alpha\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-ikx}\,\mathrm{d}x =\alpha\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-ikx}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Mas a última expressão é exatamente \alpha\,\widehat{f}(k). Como isto vale para todo k, concluímos que
\widehat{(\alpha f)}(k)=\alpha\,\widehat{f}(k) \quad\forall\,k\in\mathbb{Z},
ou seja, como séries de Fourier,
\widehat{\alpha f}=\alpha\;\widehat{f}.

Resposta

\widehat{\alpha f}=\alpha\cdot\widehat{f}.

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