Denote por
a série de Fourier de uma função
periódica
:
. Dadas
periódicas e integráveis em
e
, prove que:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função
-periódica e integrável
em
e um escalar
, a série de Fourier de
é igual a
vezes a série de Fourier de
. O conteúdo envolvido é a definição de coeficientes de Fourier e a linearidade da integral.
Passo 2
Recordando a definição de coeficiente de Fourier: para cada
,
Análogamente, o coeficiente de
é
Passo 3
Usando a linearidade da integral (posso tirar constantes multiplicativas para fora da integral), obtemos
Passo 4
Mas a última expressão é exatamente
. Como isto vale para todo
, concluímos que
ou seja, como séries de Fourier,