Denote por widehat{f} a série de Fourier de uma função 2 \pi periódica f : \\Re \rightarrow \Re. Dadas f, g: \Re \rightarrow \Re 2 \pi periódicas e integráveis em [-\pi, \pi] e \alpha \in \Re, prove que:
\widehat{f+g}=\widehat{f}+\widehat{g}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a operação de formar a série de Fourier é linear, ou seja, para duas funções 2\pi-periódicas e integráveis em [-\pi,\pi],
\widehat{f+g}(x) \;=\; \widehat f(x)+\widehat g(x).
Vamos usar as fórmulas dos coeficientes de Fourier e a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Lembrando que a série de Fourier de uma função h é
\widehat h(x) =\frac{a_0(h)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n(h)\cos(nx)+b_n(h)\sin(nx)\bigr],
onde os coeficientes são dados por
a_n(h) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\cos(nt)\,dt, \quad b_n(h) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\sin(nt)\,dt, \quad a_0(h) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\,dt.

Passo 3

Pela linearidade da integral, para cada n vale
a_n(f+g) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)\cos(nt)\,dt =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt +\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\cos(nt)\,dt =a_n(f)+a_n(g),
e analogamente
b_n(f+g)=b_n(f)+b_n(g), \quad a_0(f+g)=a_0(f)+a_0(g).

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão da série de Fourier, obtemos
\widehat{f+g}(x) =\frac{a_0(f+g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n(f+g)\cos(nx)+b_n(f+g)\sin(nx)\bigr]
=\frac{a_0(f)+a_0(g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[(a_n(f)+a_n(g))\cos(nx)+(b_n(f)+b_n(g))\sin(nx)\bigr]
=\Bigl(\tfrac{a_0(f)}2+\sum_{n=1}^\infty[a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx)]\Bigr) +\Bigl(\tfrac{a_0(g)}2+\sum_{n=1}^\infty[a_n(g)\cos(nx)+b_n(g)\sin(nx)]\Bigr)
=\widehat f(x)+\widehat g(x).

Resposta

\displaystyle \widehat{f+g}=\widehat f+\widehat g.

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