Denote por
a série de Fourier de uma função
periódica
:
. Dadas
periódicas e integráveis em
e
, prove que:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a operação de formar a série de Fourier é linear, ou seja, para duas funções
-periódicas e integráveis em
,
Vamos usar as fórmulas dos coeficientes de Fourier e a propriedade de linearidade da integral.
Passo 2
Lembrando que a série de Fourier de uma função
é
onde os coeficientes são dados por
Passo 3
Pela linearidade da integral, para cada
vale
e analogamente
Passo 4
Substituindo esses resultados na expressão da série de Fourier, obtemos