Denote por
a série de Fourier de uma função
periódica
:
. Dadas
periódicas e integráveis em
e
, prove que:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções
-periódicas e integráveis em
,
e
, vale
O conteúdo da matéria é a definição de série de Fourier de uma função periódica e a propriedade de linearidade da integral. Vamos usar a definição dos coeficientes de Fourier e a linearidade da integral para concluir.
Passo 2
Recordando a definição: se
é a série de Fourier de
, então os coeficientes são
para
, e
Passo 3
Pela linearidade da integral, para cada
temos
e de modo análogo
Passo 4
Agora basta montar a série de Fourier de
. Usando os coeficientes somados:
Distribuindo soma sobre soma de séries, isto é exatamente
.