Denote por widehat{f} a série de Fourier de uma função 2 \pi periódica f : \\Re \rightarrow \Re. Dadas f, g: \Re \rightarrow \Re 2 \pi periódicas e integráveis em [-\pi, \pi] e \alpha \in \Re, prove que:
b) \widehat{f+g}=\hat{f}+\hat{g}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções 2\pi-periódicas e integráveis em [-\pi,\pi], f e g, vale
\widehat{f+g} \;=\;\hat f \;+\;\hat g.
O conteúdo da matéria é a definição de série de Fourier de uma função periódica e a propriedade de linearidade da integral. Vamos usar a definição dos coeficientes de Fourier e a linearidade da integral para concluir.

Passo 2

Recordando a definição: se
\hat f(x) \;=\;\frac{a_{0}(f)}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}(f)\cos(nx)+b_{n}(f)\sin(nx)\bigr)
é a série de Fourier de f, então os coeficientes são
a_{n}(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
para n\ge1, e
a_{0}(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.

Passo 3

Pela linearidade da integral, para cada n\ge0 temos
a_{n}(f+g) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx +\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,dx =a_{n}(f)+a_{n}(g),
e de modo análogo
b_{n}(f+g)=b_{n}(f)+b_{n}(g).

Passo 4

Agora basta montar a série de Fourier de f+g. Usando os coeficientes somados:
\widehat{f+g}(x) =\frac{a_{0}(f+g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}(f+g)\cos(nx)+b_{n}(f+g)\sin(nx)\bigr)
=\frac{a_{0}(f)+a_{0}(g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl((a_{n}(f)+a_{n}(g))\cos(nx)+(b_{n}(f)+b_{n}(g))\sin(nx)\bigr).
Distribuindo soma sobre soma de séries, isto é exatamente \hat f(x)+\hat g(x).

Resposta

\widehat{f+g} \;=\;\hat f \;+\;\hat g.

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