Denotemos por d x, d y e d z, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
d x: R^3 longrightarrow R, d y: R^3 longrightarrow R e d z: R^3 longrightarrow R de modo que para todo v=(v1, v2, v3) in R^3,
d x(v)=v1, d y(v)=v2 e d z(v)=v3
Para cada ponto P=(x, y, z) in R^3, defina o funcional linear
phi(x, y, z): R^3 longrightarrow R
dado por
phi(x, y, z)=x y d x+x z d y+y z d z,
ou seja, phi é uma combinação linear da base dual canônica do (R^3)^star que, por definição,
phi(x, y, z)(v)=x y d x(v)+x z d y(v)+y z d z(v)
Para uma curva alpha:[a, b] longrightarrow R^3, define-se
integralalpha phi=integrala^b phialpha(t)(alpha^prime(t)) d t
Calcular integralalpha phi em cada ítem seguinte:
alpha(t)=(t, t^2, t^3), t in[0,2]
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha de uma 1-forma
phi = x y,d x ;+; x z,d y ;+; y z,d z
ao longo da curva parametrizada por
alpha(t) = l(t,;t^2,;t^3r), tin[0,2]
O conteúdo principal é integral de linha de 1-formas em R^3: devemos usar a parametrização, calcular alpha'(t), avaliar phi em alpha(t) e integrar de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro obtemos a derivada da curva parametrizada:
alpha'(t)=l(1,;2t,;3t^2r)
Em seguida, em alpha(t) temos
x=t, y=t^2, z=t^3

Passo 3

Agora avaliamos a 1-forma em alpha'(t):
phialpha(t)l(alpha'(t)r) = x,ycdot x' + x,zcdot y' + y,zcdot z'
Substituindo,
x,ycdot x' = tcdot t^2cdot1 = t^3,
x,zcdot y' = tcdot t^3cdot(2t) = 2,t^5,
y,zcdot z' = t^2cdot t^3cdot(3t^2) = 3,t^7
Logo o integrando é
t^3 + 2,t^5 + 3,t^7

Passo 4

Integramos de 0 a 2 termo a termo:
integral0^2t^3,dt = 2^44=4, integral0^22,t^5,dt = 2cdot2^66=643, integral0^23,t^7,dt = 3cdot2^88=96
Somando,
4 + 643 + 96 = 100 + 643 = 300 + 643 = 3643

Passo 5

Interpretação física: pense em
phi = xy,dx + xz,dy + yz,dz
como a forma de trabalho diferencial de<a W de um campo de forças
F(x,y,z) = (xy,;xz,;yz). Aqui
dx,dy,dz são os componentes do deslocamento dvec r de uma partícula,
e phi(alpha'(t)),dt = Fl(alpha(t)r)cdot dvec r é
o trabalho infinitesimal. Então integralalphaphi é o trabalho total
realizado por F ao mover a partícula ao longo de alpha.

Resposta

integralalphaphi = 3643

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