Denotemos por
e
, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
e
de modo que para todo
,
Para cada ponto
, defina o funcional linear
dado por
ou seja,
é uma combinação linear da base dual canônica do
que, por definição,
Para uma curva
, define-se
Calcular
em cada ítem seguinte:
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.
Para cada ponto
dado por
ou seja,
Para uma curva
Calcular
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha de uma 1-forma
ao longo da curva parametrizada por
O conteúdo principal é integral de linha de 1-formas em
: devemos usar a parametrização, calcular
, avaliar
em
e integrar de
a
.
Passo 2
Primeiro obtemos a derivada da curva parametrizada:
Em seguida, em
temos
Passo 3
Agora avaliamos a 1-forma em
:
Substituindo,
Logo o integrando é
Passo 4
Integramos de
a
termo a termo:
Somando,
Passo 5
Interpretação física: pense em
como a forma de trabalho diferencial de um campo de forças
. Aqui
são os componentes do deslocamento
de uma partícula,
e é
o trabalho infinitesimal. Então é o trabalho total
realizado por ao mover a partícula ao longo de
.
como a forma de trabalho diferencial
e
o trabalho infinitesimal. Então
realizado por