Use o método discutido em “Equações de Bernoulli” para resolver os problemas a seguir.
d yd x-y=e^2 x y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
dydx-y=e^2xy^3
Aplicaremos o método de transformação para equações de Bernoulli (caso geral dydx+p(x)y=q(x)y^n).

Passo 2

Colocamos a equação na forma
dydx+(-1),y = e^2x,y^3,
logo p(x)=-1, q(x)=e^2x e n=3. A substituição-padrão é
z = y^,1-n = y^-2

Passo 3

Derivamos z em relação a x:
dzdx = -2,y^-3,dydx
Como dydx=y + e^2xy^3, temos
dzdx = -2,y^-3l(y + e^2xy^3r) = -2l(y^-2 + e^2xr) = -2z -2e^2x
Portanto z satisfaz a equação linear
dzdx + 2,z = -2e^2x

Passo 4

Para resolver
dzdx + 2z = -2e^2x
determinamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 2,dx = e^2x
Multiplicando a equação por mu(x):
ddxl(z,e^2xr) = -2e^2x,e^2x = -2e^4x
Integramos em x:
z,e^2x = integral -2e^4x,dx = -tfrac12,e^4x + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
z = -tfrac12,e^4x,e^-2x + C,e^-2x = -tfrac12,e^2x + C,e^-2x

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que z=y^-2, então
y^-2 = -tfrac12,e^2x + C,e^-2x = C - tfrac12,e^4xe^2x
Invertemos para obter y^2:
y^2 = e^2xC - tfrac12,e^4x =2,e^2x2C - e^4x
Portanto a solução geral é
y(x) = pm raiz2,e^2x2C - e^4x = pm e^x,raiz2raiz2C - e^4x

Resposta

y(x) = pm raiz2,e^2x2C - e^4x,
onde C é constante arbitrária.

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