Use o método discutido em "Equações na forma d y / d x=G(a x+b y) " para solucionar os problemas a seguir.
d y / d x=sin (x-y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d yd x = sin(x - y)
que é do tipo d yd x=G(a x+b y) com a=1, b=-1 e G(u)=sin u. Vamos usar a substituição
u = x - y
para transformar a EDO em variáveis separáveis.

Passo 2

Derivando u=x-y em relação a x e usando tfracdydx=sin u, obtemos
dudx = 1 - dydx = 1 - sin u
Logo a equação separa-se como
du1 - sin u = dx

Passo 3

Para integrar o membro esquerdo, multiplica-se numerador e denominador por 1+sin u:
11-sin u = 1+sin u(1-sin u)(1+sin u) = 1+sin ucos^2 u
Portanto
integral du1-sin u = integral 1+sin ucos^2 u,du = integrall(sec^2u + sec utan ur),du

Passo 4

Calculando a integral:
integral sec^2 u , du = tan u, integral sec u tan u , du = sec u
Assim
integral du1-sin u = tan u + sec u + C
Do outro lado integral dx = x + C'. Reuniendo constantes, fica
tan u + sec u = x + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original u = x - y, obtendo a solução implícita
tan(x - y) + sec(x - y) = x + C

Resposta

tan(x - y) + sec(x - y) = x + C

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