Use o método discutido em “Equações com coeficientes lineares” para resolver os problemas a seguir.
(-3 x+y-1) d x+(x+y+3) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com coeficientes lineares
(-3x+y-1),dx + (x+y+3),dy = 0
e pede sua solução geral. Vamos usar o método de reduzir a uma equação homogênea pela mudança de variáveis
X = x + h, Y = y + k
de modo a eliminar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
dydx = 3x - y +1,x + y +3,
e queremos que, em X,Y, o numerador seja 3X - Y e o denominador seja X + Y. Substituindo x = X - h, y = Y - k, igualamos as partes constantes:
3(X-h)-l(Y-kr) = 3X - Y + ( -3h + k ) = 3X - Y +1,
(X-h)+(Y-k) = X + Y - (h+k) = X + Y -3
Dessas igualdades obtemos o sistema
-3h + k = 1, h + k = 3,
cuja solução é
h = 1, k = 2

Passo 3

Logo a mudança de variáveis é
X = x + 1, Y = y + 2,
e como dX = dx, dY = dy, a equação torna-se
dYdX ;=;3X - Y,X + Y,,
que é homogênea de grau zero.

Passo 4

Para resolver a homogênea fazemos v = YX, então
Y = vX, dYdX = v + XdvdX
Substituindo em dYdX = 3X - YX + Y obtemos
v + XdvdX =3 - v1 + v ;Longrightarrow; XdvdX =3 - v1 + v - v =-(v-1)(v+3),v+1,
Separamos variáveis:
v+1(v-1)(v+3),dv = -dXX
Fazendo frações parciais
v+1(v-1)(v+3) =12l(1v-1+1v+3r),
integramos:
12lnl|v-1r|+12lnl|v+3r| =-lnl|Xr|+C
Reagrupando,
lnl|(v-1)(v+3)X^2r|=C' ;Longrightarrow; (v-1)(v+3)X^2 = K

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
v-1 = YX-1 = Y-XX, v+3 = YX+3 = Y+3XX,
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(v-1)(v+3)X^2 = (Y-X)(Y+3X)
E como X=x+1, Y=y+2,
(Y-X)(Y+3X) = l((y+2)-(x+1)r)l((y+2)+3(x+1)r) =(y-x+1)(3x+y+5)
Portanto a solução implícita é
(y-x+1)(3x+y+5)=C

Resposta

(y - x + 1),(3x + y + 5) = C,
onde C é constante arbitrária.

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