Use o método discutido em “Equações com coeficientes lineares” para resolver os problemas a seguir.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com coeficientes lineares
e pede sua solução geral. Vamos usar o método de reduzir a uma equação homogênea pela mudança de variáveis
de modo a eliminar as constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
e queremos que, em
, o numerador seja
e o denominador seja
. Substituindo
,
, igualamos as partes constantes:
Dessas igualdades obtemos o sistema
cuja solução é
Passo 3
Logo a mudança de variáveis é
e como
,
, a equação torna-se
que é homogênea de grau zero.
Passo 4
Para resolver a homogênea fazemos
, então
Substituindo em
obtemos
Separamos variáveis:
Fazendo frações parciais
integramos:
Reagrupando,
Passo 5
Voltando às variáveis originais:
logo
E como
X=x+1 ,
Y=y+2 ,
Portanto a solução implícita é
Resposta
onde
C é constante arbitrária.