Denotemos por D o operador linear derivação sobre o subespaço das funções reais infinitamente diferenciáveis V=C^infty(R). Se k neq 0 é um inteiro, mostre que as funções sin (k x), cos (k x) in V são autovetores para D^2. Quais os respectivos autovalores?

Passo 1

O enunciado define o operador linear D como a derivação em V=C^infty(R) e nos pede para mostrar que, para inteiro kneq0, as funções sin(kx) e cos(kx) são autovetores de D^2, ou seja, satisfazem
D^2(f)=lambda f
para algum escalar lambda. Nosso conteúdo é teoria de autovalores de operadores lineares e vamos usar a regra da cadeia para derivar essas funções.

Passo 2

Calculemos primeiro D^2(sin(kx)). Pela regra da cadeia,
Dl(sin(kx)r)=kcos(kx)
Aplicando D mais uma vez,
D^2l(sin(kx)r) =Dl(kcos(kx)r) =k,Dl(cos(kx)r) =kl(-ksin(kx)r) =-k^2sin(kx)

Passo 3

Agora façamos o mesmo para cos(kx). Primeiro:
Dl(cos(kx)r)=-ksin(kx)
Em seguida,
D^2l(cos(kx)r) =Dl(-ksin(kx)r) =-k,Dl(sin(kx)r) =-kl(kcos(kx)r) =-k^2cos(kx)

Passo 4

Vemos que
D^2l(sin(kx)r)=-k^2sin(kx), D^2l(cos(kx)r)=-k^2cos(kx),
ou seja, ambas as funções são autovetores de D^2 com o mesmo autovalor.

Resposta

As funções sin(kx) e cos(kx) são autovetores de D^2 e o autovalor correspondente é
lambda = -k^2

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