Denotemos por
o operador linear derivação sobre o subespaço das funções reais infinitamente diferenciáveis
. Se
é um inteiro, mostre que as funções
são autovetores para
. Quais os respectivos autovalores?
Passo 1
O enunciado define o operador linear
como a derivação em
e nos pede para mostrar que, para inteiro
, as funções
e
são autovetores de
, ou seja, satisfazem
para algum escalar
. Nosso conteúdo é teoria de autovalores de operadores lineares e vamos usar a regra da cadeia para derivar essas funções.
Passo 2
Calculemos primeiro
. Pela regra da cadeia,
Aplicando
mais uma vez,
Passo 3
Agora façamos o mesmo para
. Primeiro:
Em seguida,
Passo 4
Vemos que
ou seja, ambas as funções são autovetores de
com o mesmo autovalor.
Resposta
As funções
e
são autovetores de
e o autovalor correspondente é