Seja A in M(m times m, R) uma matriz tal que A^2 possui algum autovalor real >= 0. Prove que A possui um autovetor. Dê um exemplo de matriz A tal que A^2 tenha um autovetor, mas A não.

Passo 1

O enunciado diz que Ain M(mtimes m,R) e que A^2 tem algum autovalor real lambda>=0. Precisamos mostrar que isso implica na existência de um autovetor real de A. Vamos usar o fato de que, se v é autovetor de A^2, então o subespaço gerado por v e Av é invariante por A, o que nos leva a estudar a restrição de A a uma dimensão <=2.

Passo 2

Seja vne0 tal que
A^2v=lambda v,
com lambda>=0. Definimos w = Av. Então A w = A(Av)=A^2v=lambda v. Logo o subespaço
W = spanv,,w
é invariante por A, pois A(v)=win W e A(w)=lambda vin W. Assim, na base v,w a restrição de A a W é dada por uma matriz Bin M(2, R) que satisfaz
B^2 = lambda I2

Passo 3

Analisamos dois casos para lambda:
1. lambda>0.
Nesse caso o polinômio mínimo de B divide x^2-lambda=(x-raizlambda)(x+raizlambda), que se separa em raízes reais distintas. Logo B (e portanto A em W) tem autovalores pmraizlambda e consequentemente possui um autovetor real.
2. lambda=0.
Aqui B^2=0, então B é nilpotente de ordem 2. Nesse caso o único autovalor é 0, mas como Bneq0 (se fosse B=0, então Av=0 e v já é autovetor associado a 0), temos um bloco de Jordan de tamanho 2. Mesmo assim, o núcleo de B tem dimensão 1, ou seja, existe uneq0 em W tal que Bu=0. Esse u satisfaz
A u = B u = 0cdot u,
e portanto é autovetor de A.
Em ambos os casos encontramos um vetor não-nulo u tal que Au=mu u para algum muinR. Assim, A tem autovetor real.

Passo 4

Exemplo em que A^2 tem autovetor real mas A não. Considere a rotação de 90^circ no plano:
A = 0 & -1 [6pt] 1 & 0
Então
A^2 = -1 & 0 [4pt] 0 & -1 = -I2
Aqui -1 é autovalor de A^2 e todo vetor real satisfaz
A^2v = -v,
logo A^2 tem infinitos autovetores reais. Mas A não tem nenhum autovetor real, pois sua única equação característica é x^2+1=0, sem raízes reais.]

Resposta

Mostramos que sempre existe um autovetor real de A quando A^2 tem autovalor real >=0, e demos como exemplo a rotação de 90^circ, cuja A^2=-I tem autovetores reais, mas A não.

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