Seja
uma matriz tal que
possui algum autovalor real
. Prove que
possui um autovetor. Dê um exemplo de matriz
tal que
tenha um autovetor, mas
não.
Passo 1
O enunciado diz que
e que
tem algum autovalor real
. Precisamos mostrar que isso implica na existência de um autovetor real de
. Vamos usar o fato de que, se
é autovetor de
, então o subespaço gerado por
e
é invariante por
, o que nos leva a estudar a restrição de
a uma dimensão
.
Passo 2
Seja
tal que
com
. Definimos
. Então
. Logo o subespaço
é invariante por
, pois
e
. Assim, na base
a restrição de
a
é dada por uma matriz
que satisfaz
Passo 3
Analisamos dois casos para
:
Nesse caso o polinômio mínimo de
Aqui
e portanto é autovetor de
.
Em ambos os casos encontramos um vetor não-nulo
tal que
para algum
. Assim,
tem autovetor real.
Passo 4
Exemplo em que
tem autovetor real mas
não. Considere a rotação de
no plano:
Então
Aqui
é autovalor de
e todo vetor real satisfaz
logo
tem infinitos autovetores reais. Mas
não tem nenhum autovetor real, pois sua única equação característica é
, sem raízes reais.]
Resposta
Mostramos que sempre existe um autovetor real de
quando
tem autovalor real
, e demos como exemplo a rotação de
, cuja
tem autovetores reais, mas
não.