A densidade atômica linear é definida como sendo a fração linear ocupada por átomos em uma dada direção dentro dos limites de uma célula unitária.
Calcule as densidades atômicas lineares nas direções [110] e [111] de um metal CFC.

Passo 1

O enunciado pede a densidade atômica linear num metal CFC ao longo de duas direções cristalográficas. Isso é dado pelo número de centros atômicos que caem sobre um segmento de reta dentro da célula unitária, dividido pelo comprimento desse segmento.

Passo 2

Em geral, para uma direção [u\,v\,w] em um cristal cúbico de aresta a, fazemos:
  1. Determinamos o menor segmento dentro da célula unitária: ele vai de um ponto de rede até o primeiro plano de faces da célula, cujo comprimento é
L = a\,\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\lambda
onde \lambda é tal que um dos componentes atinge a face x=a, y=a ou z=a.
2. Contamos quantos átomos (ou frações deles) têm seus centros sobre esse segmento.
3. A densidade atômica linear é
\text{LD} = \frac{\text{número de átomos no segmento}}{L}\,.úá

Passo 3

Aplicando a [110]:
  • O vetor direção é (1,1,0). O primeiro plano de faces aparece quando x=a ou y=a, ambos dão o mesmo parâmetro \lambda=1. Logo
L_{110} = a\sqrt{1^2+1^2+0^2} = a\sqrt{2}\,.
  • Sobre esse segmento, caem os centros em (0,0,0) e em \bigl(a/2,a/2,0\bigr). A próxima rede em (a,a,0) já pertence à célula vizinha e marca o começo do próximo período. Portanto temos exatamente 2 átomos por período.
  • Assim
\text{LD}_{110} = \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{a}\,.

Passo 4

Aplicando a [111]:
  • O vetor direção é (1,1,1). O primeiro plano de faces surge quando x=a, y=a e z=a simultaneamente, então \lambda=1 e
L_{111} = a\sqrt{1^2+1^2+1^2} = a\sqrt{3}\,.
  • Os centros de rede sobre esse segmento ocorrem apenas em (0,0,0) e em (a,a,a). Cada um está na fronteira do segmento e conta como metade, somando 1/2+1/2=1 átomo por período.
  • Logo
\text{LD}_{111} = \frac{1}{a\sqrt{3}}\,.

Resposta

[110]: \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}
[111]: \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{3}}

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