Um tanque metálico circular, com 14 m de diâmetro, foi construído na superfície de um terreno plano e horizontal para estocagem de combustível. O tanque deverá transmitir ao terreno uma pressão de 50 kPa . Para previsão de eventuais recalques desejam-se conhecer os acréscimos de tensão a 3,5 \mathrm{~m} de profundidade, no centro e na periferia do tanque.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque circular de raio a=7\,\mathrm{m} carregando o terreno com pressão uniforme q=50\,\mathrm{kPa}. Queremos o acréscimo de tensão vertical \Delta\sigma_z a profundidade z=3{,}5\,\mathrm{m} no ponto central ( r=0) e na borda ( r=a). O conteúdo é distribuição de tensões em meios elásticos segundo Boussinesq para área circular carregada.

Passo 2

Usando o resultado da integração de anéis carregados segundo a solução de Boussinesq, obtém‐se a fórmula geral da tensão vertical a profundidade z e distância radial r:
\Delta\sigma_z(r,z) \;=\; q \,\biggl[\frac{z^3}{\bigl(r^2+z^2\bigr)^{3/2}} \;- \frac{z^3}{\bigl(r^2+z^2+a^2\bigr)^{3/2}}\biggr].

Passo 3

No centro do tanque ( r=0) temos r^2+z^2=z^2. Logo
\Delta\sigma_z(0,z) \;=\; q \Bigl[1 \;-\;\frac{z^3}{\bigl(a^2+z^2\bigr)^{3/2}}\Bigr].
Como a/z=7/3{,}5=2 segue
1+ \bigl(a/z\bigr)^2 =5, \qquad \bigl(a^2+z^2\bigr)^{3/2}=z^3\,(5)^{3/2}=z^3\sqrt{125},
portanto
\Delta\sigma_z(0,3{,}5) =50\bigl[1-1/\sqrt{125}\bigr] \approx50\times0{,}9106 =45{,}53\;\mathrm{kPa}.

Passo 4

Na periferia ( r=a) temos r^2+z^2=a^2+z^2 e r^2+z^2+a^2=2a^2+z^2. Então
\Delta\sigma_z(a,z) =50\Bigl[\frac{z^3}{(a^2+z^2)^{3/2}} \;-\; \frac{z^3}{(2a^2+z^2)^{3/2}}\Bigr].
Numericamente, a^2=49, z^2=12{,}25, z^3=42{,}875,
(a^2+z^2)^{3/2}\approx479{,}5, \qquad (2a^2+z^2)^{3/2}\approx1157{,}6,
logo
\Delta\sigma_z(7,3{,}5) =50\bigl[42{,}875/479{,}5 - 42{,}875/1157{,}6\bigr] \approx50\times0{,}05237 =2{,}62\;\mathrm{kPa}.

Resposta

No centro: \Delta\sigma_z\approx45{,}5\,\mathrm{kPa}.
Na periferia: \Delta\sigma_z\approx2{,}6\,\mathrm{kPa}.

Exercícios relacionados